Question

Медный стержень длиной L=1 м подвешен на динамометре в вертикальном положении. При этом он частично погружен в воду. При увеличении глубины погружения стержня на l=20 см показания динамометра изменились на P=1 Н.Определите массу стержня. Плотность меди= 8900 кг/м^3, g=10 м/с^2

Answer 1

Дано: L=1 м - длина стержня

l=0,2 м - изменение глубины погружения стержня

dP= 1Н

p1=1000 кг/(м3) - плотность воды

p2=8900 кг/(м3) - плотность меди

g=10 м/(с2)

Найти массу m стежня?

Решение. Стержень имеет форму прямого цилиндра.

До изменения глубины погружения из первого закона Ньютона имеем:

F1=Fт - Fа1=mg - p1*g*S*x1--------(1)

где Fа1=p1*g*S*x1 - сила Архимеда, x1- первоначальное погружение стержня

S- площадь поперечного сечения стержня

После изменения глубины погружения стержня из первого закона Ньютона имеем: F2=Fт - Fа2=mg - p1*g*S*x2 --------(2)



где x2 - глубина погружения после изменения глубины погружения

Вычтем почленно из равенства (1) равенство (2):

F1 - F2=(mg - p1*g*S*x1)-(mg - p1*g*S*x2)=p1*S*g*(x2-x1)---------- (3)



По условию (x2-x1)=l, (F1 - F2)=dP, тогда (3) примет вид:

dP=p1*S*l*g--------(4)

умножим и разделим правую часть равенства (4) на L, получим:

dP=p1*(S*L)*l*g/L=p1*V*(l/L)*g-------(5)

где V=S*L - объем стержня, выразим объем V через массу и плотность:

V=m/p2 Тогда (5) примет вид:

dP=(p1/p2)*(l/L)*g*m, выразим отсюда массу m стержня:

m=(L/l)*(p2/p1)*(dP/g)

Расчет: m=(1 /0,2 )*(8900/1000)*(1/10) кг =(8,9/2) кг=4,45 кг

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Архимеда и второй закон Ньютона.

1. Сила Архимеда (F_A): Сила Архимеда, действующая на погруженный в воду объект, равна весу выталкиваемой им воды. Для медного стержня эта сила равна весу воды, вытесненной под погруженной частью стержня.

\[ F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{вытесненной воды}} \cdot g \]

Где: - \( \rho_{\text{воды}} \) - плотность воды (принимаем \(1000 \, \text{кг/м}^3\)), - \( V_{\text{вытесненной воды}} \) - объем воды, вытесненной погруженной частью стержня.

2. Вес стержня (F_вес): Вес стержня равен массе стержня, умноженной на ускорение свободного падения.

\[ F_{\text{вес}} = m_{\text{стержня}} \cdot g \]

3. Связь с динамометром: При изменении глубины погружения стержня на \(l = 20 \, \text{см}\) показания динамометра изменяются на силу \( P = 1 \, \text{Н} \). Таким образом, изменение силы динамометра равно изменению силы Архимеда:

\[ \Delta F_A = P \]

Изменение силы Архимеда также можно записать как разность веса стержня до и после погружения:

\[ \Delta F_A = F_{\text{вес до}} - F_{\text{вес после}} \]

Подставим выражения для веса и силы Архимеда:

\[ m_{\text{стержня}} \cdot g - \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{вытесненной воды}} \cdot g = P \]

Теперь давайте решим уравнение.

1. Вычисление объема воды: \[ V_{\text{вытесненной воды}} = S_{\text{площадь основы}} \cdot l \]

Для цилиндрического стержня площадь основы \(S_{\text{площадь основы}}\) равна площади круга и вычисляется по формуле: \[ S_{\text{площадь основы}} = \pi \cdot r_{\text{стержня}}^2 \]

Где \( r_{\text{стержня}} \) - радиус стержня.

2. Выражение для массы стержня: Подставим \( V_{\text{вытесненной воды} \) в уравнение:

\[ m_{\text{стержня}} \cdot g - \rho_{\text{воды}} \cdot S_{\text{площадь основы}} \cdot l \cdot g = P \]

Теперь выразим массу стержня \( m_{\text{стержня}} \):

\[ m_{\text{стержня}} = \frac{P}{g} + \rho_{\text{воды}} \cdot S_{\text{площадь основы}} \cdot l \]

3. Подстановка числовых значений: Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ m_{\text{стержня}} = \frac{1 \, \text{Н}}{10 \, \text{м/с}^2} + (1000 \, \text{кг/м}^3) \cdot \pi \cdot (0.5 \, \text{м})^2 \cdot 0.2 \, \text{м} \]

Вычислите это выражение, и вы получите массу медного стержня.