Question

С поверхности земли подброшен вертикально вверх небольшой шарик с начальной скоростьюv0 = 5 м/с. В тот момент, когда он достиг верхней точки, снизу, с того же места подброшен точнотакой же шарик с такой же начальной скоростью. При столкновении шарики слипаются идвижутся далее как одно целое. Определите промежуток времени t, в течение которого первыйшарик находился в полёте до соприкосновения с поверхностью земли. Сопротивлением воздухаможно пренебречь.

Answer 1

ДАНО

Vo=5м/с

V =0м/с

g=10 м/с2

-------------------

t- ?

РЕШЕНИЕ

1) Шарик №1 движется  ВВЕРХ.  По закону сохранения энергии Кинетическая энергия шарика при броске с поверхности земли  РАВНА потенциальной энергии на высоте  h.

Ek=En ;  mVo^2/2 =mgh ; 

высота   h=Vo^2/(2g)=5^2/(2g)=25/(2*10)=1.25 м  (1)

время подъема  шарика t1=(V-Vo)/(-g)=(0-5)/(-10)=0.5c

2) После верхней точки шарик №1 движется ВНИЗ , ему навстречу шарик №2 ВВЕРХ.  До встречи они летят одно и тоже время t2.

Шарик №1 проходит расстояние  h1=Vt2 +gt^2/2 = gt^2/2

Шарик №2 проходит расстояние  h2=Vot2 -gt^2/2

Общее расстояние h=h1+h2= gt^2/2+ Vot2 -gt^2/2=Vot2

Также h=Vo^2/(2g)   <-----из формулы  (1)

Приравняем   h

Vot2 = Vo^2/(2g)

t2= Vo/(2g)=5/(2*10=0.25c

При падении шарик №1 прошел расстояние h1= gt^2/2=10*0.25^2/2=0.3125 м

Осталось  пройти до поверхности земли  расстояние h2=h-h1=1.25-0.3125=0.9375 м

3)Скорости шариков при столкновении направлены противоположно

(пусть положительное направление оси ОХ  вниз)

V1=V+gt=0+10*0.25=2,5 м/с

V2=Vo+gt=-5+10*0.25=-2,5 м/с

|V1|=|V2|=2.5 м/с

Массы шариков равны  m1=m2=m

Удар абсолютно НЕУПРУГИЙ  - шарики  слиплись.

По закону сохранения импульса суммарный импульс  ДО удара  и ПОСЛЕ равны.

mV1+mV2=(m+m)*uo

где  uo -начальная скорость слипшихся шариков после столкновения.

m(v1+v2) =2m*uo

uo=(V1+V2)/2 =(2.5-2.5)/2=0 м/с

Скорость шариков при столкновении стала равна 0.

4) Уравнение движения шарика №1 на участке  h2 (нач. скорость uo ; время движения t3)

h2=uo*t3+g(t3)^2/2=0+ g(t3)^2/2 ;  (t3)^2 = 2*h2/g ; t3=√(2*h2/g) = √(2*0.9375/10)=0.433c

5) Общее время в полете шарика №1 до касания земли t=t1+t2+t3=0.5+0.25+0.433=1.183=1.2c

ОТВЕТ    1.2с   

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением движения свободного падения и кинематическим уравнением.

1. Рассмотрим первый шарик, брошенный вверх. Уравнение движения для него будет иметь вид:

\[ h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}, \]

где: - \( h_1(t) \) - высота первого шарика в момент времени \( t \), - \( v_0 = 5 \ \text{м/с} \) - начальная скорость, - \( g = 9.8 \ \text{м/с}^2 \) - ускорение свободного падения.

2. Рассмотрим второй шарик, брошенный вниз. Уравнение его движения будет:

\[ h_2(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}. \]

3. Поскольку шарики слипаются при столкновении и двигаются далее как одно целое, высота системы шариков относительно поверхности земли будет равна сумме высот каждого шарика:

\[ H(t) = h_1(t) + h_2(t). \]

Теперь найдем момент времени \( t \), когда первый шарик достигнет верхней точки. Это произойдет, когда его скорость станет равной нулю. Уравнение для этого:

\[ v_1(t) = v_0 - gt = 0. \]

Отсюда получаем:

\[ t_{\text{верх}} = \frac{v_0}{g}. \]

Теперь можем подставить \( t_{\text{верх}} \) в уравнение для высоты \( H(t) \) и найти промежуток времени \( t \), в течение которого первый шарик находился в полёте до столкновения.

\[ t_{\text{столкновения}} = 2 \cdot t_{\text{верх}}. \]

Подставляем значения:

\[ t_{\text{столкновения}} = 2 \cdot \frac{5 \ \text{м/с}}{9.8 \ \text{м/с}^2} \approx 1.02 \ \text{с}. \]

Таким образом, промежуток времени \( t \), в течение которого первый шарик находился в полёте до соприкосновения с поверхностью земли, составляет примерно 1.02 секунды.