Question

Аэростат объёмом V наполнен гелием, обладающем внутренней энергий U. Давление газа p. Определите значение велечины V. U Мдж=78 p кПа=130 V м^3=?

Answer 1

U=78*10^6 Дж      p=130*10^3 Па      V=?
===
U=(3/2)*v*R*T=(3/2)*p*V
V=2*U/(3*p)=2*78*10^6/(3*130*10^3)=400 м3
======================================

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, которое выражается формулой:

\[ PV = nRT \]

где: - \( P \) - давление газа, - \( V \) - объем газа, - \( n \) - количество молекул газа (в молях), - \( R \) - универсальная газовая постоянная, - \( T \) - температура газа в кельвинах.

У нас в задаче даны следующие значения: - \( U = 78 \) МДж (внутренняя энергия гелия), - \( p = 130 \) кПа (давление газа).

Переведем давление из килопаскалей в паскали (\(1 \, \text{кПа} = 1000 \, \text{Па}\)):

\[ p = 130 \, \text{кПа} = 130 \times 1000 \, \text{Па} = 130000 \, \text{Па} \]

Также известно, что внутренняя энергия газа связана с его температурой следующим образом:

\[ U = nC_vT \]

где: - \( U \) - внутренняя энергия, - \( n \) - количество молекул газа (в молях), - \( C_v \) - молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме, - \( T \) - температура газа в кельвинах.

Мы знаем, что \( U = nC_vT \), а также что \( PV = nRT \). Таким образом, мы можем выразить температуру \( T \) из этих двух уравнений:

\[ U = nC_vT \] \[ PV = nRT \]

Для этого мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:

\[ PV = nRT \]

Разделим оба уравнения:

\[ \frac{U}{PV} = \frac{nC_vT}{nRT} \]

Сократим \( n \) и \( T \):

\[ \frac{U}{PV} = \frac{C_v}{R} \]

Теперь выразим объем \( V \):

\[ V = \frac{C_v}{R} \times \frac{U}{p} \]

У нас есть значение \( U = 78 \) МДж, \( p = 130000 \) Па, а универсальная газовая постоянная \( R \) для гелия примерно равна \( 2077 \, \text{J/(kg·K)} \). Теплоемкость при постоянном объеме \( C_v \) для гелия составляет примерно \( 5/2 \times R \). Подставим все значения и решим:

\[ V = \frac{5/2 \times R}{R} \times \frac{U}{p} \]

\[ V = \frac{5}{2} \times \frac{U}{p} \]

\[ V = \frac{5}{2} \times \frac{78 \times 10^6 \, \text{J}}{130000 \, \text{Па}} \]

\[ V = \frac{5}{2} \times 600 \, \text{м}^3 \]

\[ V = 1500 \, \text{м}^3 \]

Таким образом, объем аэростата составляет \( 1500 \, \text{м}^3 \).