Question

Амплитуда гармонических колебаний заряда на обкладках конденсатора возросла в два раза, индуктивность контура увеличилась в два раза, а частота свободных колебаний уменьшилась в два раза. Как при этом изменилась полная энергия колебаний контура?

Answer 1

W=Wэ+Wм=W'э =W'м

Wэ=q²/2C
Wм=LI²/2
v=1/T=1/2π√LC
v'=2v=2/2π√L'C'
1/2π√LC=1/π√L'C'
1/2√LC=1/√2LC'
2LC'=4LC
C'=2C
W'э=(2q)²/2*2C=4q²/4C=q²/C
W'м=2LI²/2=LI²
Полная энергия увеличилась в 2 раза

Answer 2

Полная энергия колебаний контура определяется формулой:

E = (1/2) * C * U^2 + (1/2) * L * I^2

Где C - ёмкость конденсатора, U - напряжение на конденсаторе, L - индуктивность контура, I - ток в контуре.

Поскольку амплитуда гармонических колебаний заряда на обкладках конденсатора возросла в два раза, то напряжение на конденсаторе также увеличилось в два раза. Следовательно, в первом слагаемом формулы энергии произошло увеличение в четыре раза.

Поскольку индуктивность контура увеличилась в два раза, то второе слагаемое формулы энергии также увеличилось в четыре раза.

Поскольку частота свободных колебаний уменьшилась в два раза, то амплитуда тока в контуре также уменьшилась в два раза. Следовательно, во втором слагаемом формулы энергии произошло уменьшение в четыре раза.

Таким образом, изменение полной энергии колебаний контура будет равно:

ΔE = (4 * C * U^2) + (4 * L * (I/2)^2) - (1/2) * C * U^2 - (1/2) * L * I^2

ΔE = (7/2) * C * U^2 + (3/4) * L * I^2

Таким образом, полная энергия колебаний контура увеличилась на (7/2) * C * U^2 и (3/4) * L * I^2.