Question

Помогите пожалуйста с задачей: Точка совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и периодом 2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что при t=0 смещение равно нулю. Определить также фазу для двух моментов времени: а) когда смещение точки равно 6 см; б) когда скорость точки равна 10 см/с.

Answer 1

Xm=0,1 м w0=2*pi/T=2*pi/2=pi
x=0,1*sin(pi*t)
a) sin(w*t)=x/xm=6/10=0,6    a=w*t=arcsin(0,6)=37 градусов
б) V=x*w0
x=V/w0=10/10=1   sin(w*t)=1   a=90 градусов

Answer 2

Уравнение гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний может быть выражено следующей формулой:

x(t) = A * cos(ωt + φ)

где: - x(t) - смещение точки в момент времени t - A - амплитуда колебаний - ω - угловая частота, равная 2π / T, где T - период колебаний - φ - начальная фаза колебаний

Определение уравнения колебаний

Для данной задачи амплитуда колебаний равна 10 см, а период равен 2 секунды. Подставим эти значения в уравнение:

x(t) = 10 * cos(2πt / 2 + φ)

Учитывая, что при t = 0 смещение равно нулю, получаем:

0 = 10 * cos(2π * 0 / 2 + φ)

0 = 10 * cos(φ)

Таким образом, начальная фаза φ равна π / 2 или 3π / 2.

Определение фазы для заданных моментов времени

а) Когда смещение точки равно 6 см:

Подставим значение смещения в уравнение и решим его относительно фазы:

6 = 10 * cos(2πt / 2 + φ)

0.6 = cos(2πt / 2 + φ)

cos(2πt / 2 + φ) равно 0.6, следовательно, угол (2πt / 2 + φ) должен быть равен arccos(0.6). Выберем значение фазы, чтобы это выполнялось. Пусть φ = arccos(0.6):

2πt / 2 + arccos(0.6) = arccos(0.6)

2πt / 2 = 0

Таким образом, фаза для данного момента времени равна 0.

б) Когда скорость точки равна 10 см/с:

Скорость точки определяется производной от смещения по времени:

v(t) = -Aω * sin(ωt + φ)

Подставим значение скорости в уравнение и решим его относительно фазы:

10 = -10 * 2π * sin(2πt / 2 + φ)

1 = -sin(2πt / 2 + φ)

sin(2πt / 2 + φ) равно -1, следовательно, угол (2πt / 2 + φ) должен быть равен arcsin(-1). Выберем значение фазы, чтобы это выполнялось. Пусть φ = arcsin(-1):

2πt / 2 + arcsin(-1) = arcsin(-1)

2πt / 2 = -π / 2

Таким образом, фаза для данного момента времени равна -π / 2.

Итоговые уравнения колебаний

Уравнение гармонических колебаний с учетом начальной фазы и заданных значений смещения и скорости:

а) Для смещения 6 см:

x(t) = 10 * cos(2πt / 2)

б) Для скорости 10 см/с:

x(t) = 10 * cos(2πt / 2 - π / 2)

Обратите внимание, что фаза указывается в радианах. Кроме того, эти уравнения предполагают, что начальная фаза φ равна 0, поскольку смещение в начальный момент времени равно нулю.