Question

На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести ,действующая на тело уменьшается в 4 раза?(радиус земли принять 6400 км.)

Answer 1

F1:F2=4:1 (отношение)

 F1=G*M*m/R^2  - сила на поверхности

 F2=G*M*m/(R+h)^2 - сила на высоте h

 F1:F2=(R+h)^2/(R)^2 = ((R+h)/R)^2 = (1+h/R)^2 = 4 = 2^2
(1+h/R)^2  = 2^2
(1+h/R) = 2
h/R=1

h=R=6400 км - это ответ

Answer 2

Сила тяжести, действующая на тело, уменьшается с расстоянием от центра Земли в соответствии с законом тяготения Ньютона. Этот закон формулируется как \( F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \), где \( F \) - сила тяжести, \( G \) - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух объектов, \( r \) - расстояние между центрами масс этих объектов.

В данном случае \( m_1 \) - масса Земли, \( m_2 \) - масса тела, а \( r \) - расстояние от центра Земли до тела. Если мы обозначим силу тяжести на высоте \( h \) от поверхности Земли как \( F_h \), то отношение сил тяжести на двух различных высотах будет равно отношению квадратов расстояний до центра Земли на этих высотах.

Пусть \( r_1 \) - расстояние от центра Земли до поверхности, а \( r_2 \) - расстояние от центра Земли до тела на заданной высоте. Тогда:

\[ \frac{{F_h}}{{F_0}} = \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^2 \]

В задаче говорится, что сила тяжести уменьшается в 4 раза. Таким образом, \( \frac{{F_h}}{{F_0}} = \frac{1}{4} \). Подставляем это в уравнение:

\[ \frac{1}{4} = \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^2 \]

Теперь решим уравнение относительно \( \frac{{r_2}}{{r_1}} \):

\[ \frac{{r_2}}{{r_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, расстояние \( r_2 \) (расстояние от центра Земли до тела на высоте) равно половине расстояния \( r_1 \) (расстояние от центра Земли до поверхности).

Так как \( r_1 \) - это сумма радиуса Земли \( R \) и высоты \( h \), то \( r_1 = R + h \). Тогда \( r_2 = \frac{1}{2} \cdot (R + h) \).

Мы знаем, что радиус Земли \( R = 6400 \) км, поэтому:

\[ r_2 = \frac{1}{2} \cdot (6400 \, \text{км} + h) \]

Таким образом, расстояние от поверхности Земли до тела на высоте \( h \), при котором сила тяжести уменьшается в 4 раза, составляет половину суммы радиуса Земли и этой высоты.