Question

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью υ1, а вторую треть времени со скоростью υ2. На третьем участке пути его скорость равнялась средней скорости движения на всём пути. Известно, что υ2 > υ1. Какой из участков самый короткий, а какой самый длинный? На каком участке автомобиль находился дольше всего, а на каком меньше всего?

Answer 1

Кототкий － U1, длинный － U2

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для средней скорости:

\[ \text{средняя скорость} = \frac{\text{пройденное расстояние}}{\text{время}} \]

Поскольку автомобиль ехал с разными скоростями на разных участках пути, возможно, что расстояния на каждом участке различны.

Обозначим время, которое автомобиль потратил на каждый участок через \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\) соответственно, а расстояние на каждом участке через \(s_1\), \(s_2\) и \(s_3\).

Условия задачи указывают, что автомобиль проехал первую треть пути со скоростью \(υ_1\), вторую треть пути со скоростью \(υ_2\) и третью треть пути со средней скоростью на всем пути. Поскольку скорость равна отношению пройденного расстояния к времени, можно записать следующие равенства:

\[ υ_1 = \frac{s_1}{t_1}, \quad υ_2 = \frac{s_2}{t_2}, \quad \text{средняя скорость} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3} \]

Из условия задачи также известно, что \(υ_2 > υ_1\).

Поскольку скорость на третьем участке равна средней скорости движения на всем пути, мы можем записать:

\[ \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{s_3}{t_3} \]

Далее, мы можем выразить \(s_3\) через \(s_1\) и \(s_2\) с помощью равенства \(υ_2 > υ_1\):

\[ υ_1 < υ_2 \implies \frac{s_1}{t_1} < \frac{s_2}{t_2} \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 < \frac{s_2}{t_2} \cdot t_2 \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 < s_2 \]

Теперь, подставляем это обратно в уравнение для \(s_3\) и упрощаем:

\[ \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{s_3}{t_3} \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 + s_3 = \frac{s_3}{t_3} \cdot (t_1 + t_2 + t_3) \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 + s_3 = \frac{s_3}{t_3} \cdot t_1 + s_3 + \frac{s_3}{t_3} \cdot t_2 \]

Теперь группируем по \(s_3\):

\[ \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 = \frac{s_3}{t_3} \cdot t_1 + \frac{s_3}{t_3} \cdot t_2 \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 = \frac{t_1 + t_2}{t_3} \cdot s_3 \]

Далее, мы можем выразить \(t_3\) через \(t_1\) и \(t_2\):

\[ t_1 + t_2 + t_3 = t_1 + t_2 + \frac{s_3}{μ_3} \implies t_3 = \frac{s_3}{μ_3} \]

Теперь, подставляем это обратно в уравнение для \(s_3\) и упрощаем:

\[ \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 = \frac{t_1 + t_2}{t_3} \cdot s_3 \implies \frac{s_1}{t_1} \cdot t_2 + s_2 = \frac{t_1 + t_2}{\frac{s_3}{μ_3}} \cdot s_3 \implies \frac{s_1 \cdot t_2}{t_1} + s_2 = \frac{s_3}{t_3} \cdot s_3 \]

Далее, мы можем подставить выражение для \(s_3\) через \(t_3\) и упростить:

\[ \frac{s_1 \cdot t_2}{t_1} + s_2 = \frac{s_3}{t_3} \cdot s_3 \implies \frac{s_1 \cdot t_2}{t_1} + s_2 = \frac{s_3}{\frac{s_3}{μ_3}} \cdot s_3 \implies \frac{s_1 \cdot t_2}{t_1} + s_2 = μ_3 \cdot s_3 \]

Теперь изменим единицы измерения времени и расстояния на произвольные, для упрощения вычислений. Пусть \(y = \frac{s_1}{t_1}\), \(x = \frac{s_3}{s_3}\), \(z = \frac{t_2}{t_1}\), \(w = \frac{s_2}{s_1}\). Теперь можно записать уравнение в виде:

\[ yz + w = \frac{1}{z + x} \]

Заметим, что участок с самой маленькой продолжительностью времени будет тем, где \(t_1\) минимально, а участок с самой большой продолжительностью времени будет тем, где \(t_1\) максимально. Вероятно, это будет зависеть от значений \(υ_1\) и \(υ_2\), так как они определяют скорости на разных участках.

Таким образом, в общем случае, невозможно однозначно определить самый короткий и самый длинный участки пути, а также участок, который автомобиль проехал больше всего или меньше всего времени.

Однако, если были бы заданы конкретные значения \(υ_1\) и \(υ_2\) (или иную информацию о зависимости), мы смогли бы решить эту задачу более точно.