Question

На носу и на корме лодки с массами M и длинной L,стоящей неполвижно на озере,сидят два рыболова с массами m1 и m2.Найти смещение лодки дельтаL ,когда рыболовы меняются местами.

Answer 1

По закону сохранения импульса: m1(v1 - v0) - (M+m2)v0=0,
v1-скорость первого рыбака относительно лодки, v1=L/t его движение равномерное,
v0 -  скорость лодки, которую она приобретает при этом,
за время t лодка передвинется равномерно на искомое расстояние ΔL1=v0*t.
После замены скоростей в законе сохранения получим:
m1*L=m1*ΔL1+(M+m2)ΔL1, ΔL1=m1L/(M+m1+m2). Аналогично при перемещении второго рыбака ΔL2=m2L/(M+m1+m2). В результате разность этих величин дает смещение лодки ΔL=(m1 - m2)*L/(M+m1+m2),  когда оба рыбака меняются местами.

Answer 2

Для нахождения смещения лодки, когда рыболовы меняются местами, можно использовать законы сохранения импульса и момента импульса.

Пусть рыболовы первоначально находятся на носу и корме лодки. При обмене местами, рыболов на носу перемещается на корму, а рыболов на корме перемещается на нос.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после обмена должна быть одинакова. Импульс - это произведение массы на скорость.

m1v1 + m2v2 = m1v2' + m2v1'

где m1 - масса первого рыболова, m2 - масса второго рыболова, v1 - скорость первого рыболова на носу, v2 - скорость второго рыболова на корме, v1' - скорость первого рыболова на корме после обмена, v2' - скорость второго рыболова на носу после обмена.

Также, момент импульса системы должен сохраняться.

m1l + m2(2l) = m1(2l) + m2l'

где l - длина лодки.

Мы знаем, что после обмена рыболовы занимают места раннее занятые другими, поэтому получаем следующие соотношения:

v1 = v2', v2 = v1',

подставляем эти значения в закон сохранения импульса и момента импульса:

m1v1 + m2v2 = m1v2' + m2v1' тогда m1v1 + m2v1 = m1v1' + m2v1',

m1l + m2(2l) = m1(2l) + m2l' тогда m1l + 2m2l = 2m1l + m2l',

раскрываем скобки и упрощаем:

(m1 + m2)v1 = (m1 + m2)v1',

m1l + 2m2l = 2m1l + m2l',

(m1 + m2)v1 = (m1 + m2)v1',

m1l + 2m2l = 2m1l + m2l',

m1v1 = m1v1',

m2v1 = m2v1',

m1l = m2l',

m1l + 2m2l = 2m1l + m2l'.

Теперь можем решить эти уравнения:

m1v1 = m1v1' приведем подобные слагаемые

m1(v1 - v1') = 0

v1 - v1' = 0 т.к. m1 > 0, это возможно только если v1 = v1'

m2v1 = m2v1' приведем подобные слагаемые

m2(v1 - v1') = 0

v1 - v1' = 0 т.к. m2 > 0, это возможно только если v1 = v1'

m1l = m2l' приведем подобные слагаемые

m1l - m2l' = 0

l(m1 - m2) = 0

т.к. l > 0, это возможно только если m1 = m2

m1l + 2m2l = 2m1l + m2l' приведем подобные слагаемые

m1l - m2l' = 0

l(m1 - m2) = 0

т.к. l > 0, это возможно только если m1 = m2

Таким образом, мы получаем, что чтобы рыболовы могли поменяться местами, необходимо, чтобы массы рыболовов были равны (m1 = m2), в противном случае лодка не сместится.