Question

Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре имеет вид I = - 0,157sin10^4 (ПИ)t(А). Индуктивность контура 10,15 мГн. Найти 1) емкость конденсатора контура; 2) максимальное напряжение на обкладках конденсатора; 3) длину волны, соответствующую этому контуру

Answer 1

1)
Запишем уравнение колебаний в общем виде и заданное по условию:
i (t) = Imax*sin (ω*t)
i (t) = -0,157*sin (10⁴·π*t)

Отсюда:
Модуль амплитуды тока:
Imax = 0,157 A

Циклическая частота:
ω = 1·10⁴·π  рад/с

Период колебаний в контуре:
T = 2π/ω = 2π / (1·10⁴·π) = 2 /  (1·10⁴) = 0,2*10⁻³ с

Запишем формулу Томсона для периода колебаний в контуре:
T = 2π·√(L*C)
Возведем в квадрат:
T² = 4·π²*L*C
Отсюда ёмкость:
C = T² /  (4*π²*L ) = (0,2*10⁻³)² / (4*9,87*10,15*10⁻³) ≈ 500*10⁻⁶ Ф  или  500 мкФ

Емкостное сопротивление конденсатора:
Xc = 1 / (ω*C) = 1 / (1·10⁴·π ·500*10⁻⁶ ) ≈ 0,064   Ом

2)
Максимальное напряжение на обкладках конденсатора:
Umax = Imax*Xc = 0,157*0,064 ≈ 0,01 В

3)

Длина волны контура:
λ = с*T = 3*10⁸*0,2*10⁻³ = 60*10³ м (это длинные волны)

 

Answer 2

Для решения этой задачи будем использовать уравнение тока в колебательном контуре и формулы, связанные с индуктивностью, емкостью и максимальным напряжением на конденсаторе.

Уравнение тока в колебательном контуре задано как \(I = -0,157 \sin(10^4 \pi t)\) Ампер.

1. Нахождение емкости конденсатора (C): В колебательном контуре с индуктивностью \(L\) и емкостью \(C\) ток и напряжение связаны следующим образом: \[ I(t) = -\frac{U_0}{L} \sin(\omega t) \] где \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) - угловая частота.

Сравнивая это уравнение с данным уравнением тока, получаем: \[\frac{U_0}{L} = 0,157 \times 10^4 \pi \] Отсюда можем выразить \(C\): \[C = \frac{1}{(10^4 \pi)^2 \times L} \]

Подставим значение индуктивности \(L = 10,15 \ мГн\) и решим для емкости \(C\).

\[ C = \frac{1}{(10^4 \pi)^2 \times 10,15 \times 10^{-3}} \]

2. Нахождение максимального напряжения на конденсаторе (\(U_{\text{max}}\)): Максимальное напряжение на конденсаторе связано с максимальным током следующим образом: \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \times X_C \] где \(I_{\text{max}}\) - максимальное значение тока, \(X_C\) - реактивное сопротивление конденсатора. Реактивное сопротивление конденсатора определяется как \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).

Подставим значения \(I_{\text{max}} = 0,157 \times 10^4 \pi\) (максимальное значение амплитуды тока) и \(C\), которое мы нашли в первом пункте: \[ X_C = \frac{1}{10^4 \pi \times C} \] Затем найдем \(U_{\text{max}}\): \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \times X_C \]

3. Нахождение длины волны (\(\lambda\)): Длина волны в колебательном контуре определяется по формуле: \[ \lambda = \frac{v}{f} \] где \(v\) - скорость света, \(f\) - частота колебаний. Частота колебаний связана с угловой частотой следующим образом: \(f = \frac{\omega}{2\pi}\).

Зная частоту, мы можем вычислить длину волны.

\[ \lambda = \frac{v}{\frac{\omega}{2\pi}} \]

Значения скорости света можно взять как \(3 \times 10^8 \ м/с\).

Теперь, подставим известные значения и решим уравнения для каждого из пунктов.