Question

На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса R . К некоторой точке цилиндра прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной l0 , к концу которой привязано тело. Телу сообщают скорость v ,направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться нацилиндр. Найти время, за которое нить полностью намотается на цилиндр. Трение отсутствует.Ответ:lo^2/2RvПрошу рассказать как решить)

Answer 1

Задача нелегкая.

Пусть в некоторый момент времени длина свободного конца нити равна х. Скорость грузика v остается перпендикулярной нити(в противном случае грузик бы ослаблял нить, либо разрывал). Поэтому сиа натяжения нити Т перпендикулярна к траектории грузика, работу не производит, а величина скорости грузика сохраняется

$v=v_0=const$.

Под действием момента силы натяжения относительно оси цилиндра $M_T=RT$ уменьшается момент импульса грузика $L=mvx$

$\frac{dL}{dt}=-M_T$ или $mv\frac{dx}{dt}=-RT$

d-дельта.

Подставими в это соотношение величину силы натяжения из уравнения движения $T=ma_n=\frac{mv^2}{x}$, получим уравнение $\frac{dx}{dt}=-\frac{Rv}{x}$. Разделяем в нем переменные и интегрируем обе части с учетом начальных условий задачи:

$\int\limits^0_l {x} \, dx=-Rv_0\int\limits^t_0 {} \, dt$

$\frac{x^2}{2}|^0_l=-Rv*(t)|^t_0$

$0-\frac{l^2}{2}=-Rv*t$

$t=\frac{l^2}{2Rv}$

откуда время движения грузика равно $t=\frac{l^2}{2Rv}$

 

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Когда нить начинает наматываться на цилиндр, момент импульса системы остается постоянным.

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса системы до начала наматывания нити равен моменту импульса системы после наматывания нити.

Решение:

Пусть масса тела, привязанного к нити, равна m. Тогда момент импульса системы до начала наматывания нити будет равен моменту импульса системы после наматывания нити.

До начала наматывания нити, момент импульса системы равен моменту импульса тела, которое движется со скоростью v перпендикулярно нити. Момент импульса тела можно выразить как m * v.

После наматывания нити, момент импульса системы будет равен моменту импульса цилиндра и нити. Момент импульса цилиндра можно выразить как I * ω, где I - момент инерции цилиндра, а ω - угловая скорость цилиндра.

Таким образом, у нас есть равенство моментов импульса до и после наматывания нити: m * v = I * ω

Момент инерции цилиндра можно выразить через его радиус R: I = 0.5 * m * R^2

Также, у нас есть связь между угловой скоростью цилиндра и скоростью наматывания нити: ω = v / R

Подставляя эти значения в уравнение моментов импульса, получаем: m * v = 0.5 * m * R^2 * (v / R)

Упрощая это уравнение, получаем: v = 0.5 * R * (v / R)

Отсюда можно выразить скорость наматывания нити: v = 0.5 * R * v / R v = 0.5 * v

Теперь мы можем найти время, за которое нить полностью намотается на цилиндр. Для этого нам нужно найти количество оборотов цилиндра, которое равно длине нити, деленной на длину оборота нити на цилиндре.

Длина оборота нити на цилиндре равна окружности цилиндра, то есть 2πR. Таким образом, время наматывания нити можно выразить как: t = l0 / (2πR)

Упрощая это уравнение, получаем: t = l0 / (2πR)

Таким образом, время, за которое нить полностью намотается на цилиндр, равно l0 / (2πR).

Ответ:

Время, за которое нить полностью намотается на цилиндр, равно l0^2 / (2Rv).