Question

На лопасти вентилятора с вертикальной осью вращения и радиусом 8 см сидит муравей. При какой максимальной частоте вращения лопастей вентилятора он сможет удержаться на лопасти, если удерживающая его сила трения может достигать значения до 180% от его силы притяжения к Земле? Ответ выразить в об./с.

Answer 1

Центростремительная сила равна 1,8 силы притяжения:
m*V²/R=1,8*m*g

Найдем скорость вращения мухи:
V=√(1,8*g*R) = √(1,8*10*0,08) = 1,2 м/с

Из формулы:
V=2*π*R*n 
находим:
n = V / (2*π*R) = 1,2 / (2*3,14*0,08) ≈ 2,4 об/с

Answer 2

Чтобы рассчитать максимальную частоту вращения лопастей вентилятора, при которой муравей сможет удержаться на лопасти, нужно учесть баланс сил, воздействующих на него.

Сила притяжения муравья к Земле определяется его массой и ускорением свободного падения. Для удобства будем считать, что масса муравья равна \( m \) и ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \, \text{м/c}^2 \).

Сила притяжения к Земле: \[ F_{\text{прит}} = m \cdot g \]

Для удерживающей силы трения на лопасти вентилятора: \[ F_{\text{трения}} = 1.8 \cdot F_{\text{прит}} \]

Чтобы муравей не сдвигался, сумма сил, направленных к центру вращения (центробежная сила \( F_{\text{центр}} \)) и удерживающая сила трения, должна быть не меньше силы притяжения к Земле: \[ F_{\text{центр}} + F_{\text{трения}} \geq F_{\text{прит}} \]

Центробежная сила определяется через массу муравья, радиус окружности, по которой он движется, и квадрат его угловой скорости \( \omega \): \[ F_{\text{центр}} = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Где \( r \) - радиус окружности, по которой движется муравей (в данном случае радиус лопасти).

Теперь можно выразить угловую скорость, при которой муравей будет удерживаться на лопасти. Сначала найдем \( \omega \):

\[ F_{\text{центр}} + F_{\text{трения}} = F_{\text{прит}} \] \[ m \cdot r \cdot \omega^2 + 1.8 \cdot F_{\text{прит}} = F_{\text{прит}} \] \[ m \cdot r \cdot \omega^2 = 0.8 \cdot F_{\text{прит}} \] \[ \omega^2 = \frac{0.8 \cdot F_{\text{прит}}}{m \cdot r} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{0.8 \cdot F_{\text{прит}}}{m \cdot r}} \]

Подставим значение силы притяжения и радиуса лопасти:

\[ \omega = \sqrt{\frac{0.8 \cdot m \cdot g}{m \cdot 0.08}} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{0.8 \cdot 9.8}{0.08}} \] \[ \omega \approx \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{рад/с} \]

Таким образом, максимальная частота вращения лопастей вентилятора, при которой муравей сможет удержаться на лопасти, составляет примерно \( 9.9 \, \text{рад/с} \). Чтобы перевести это значение в обороты в минуту (об/мин), можно использовать следующее соотношение: \( 1 \, \text{рад/с} \approx 9.55 \, \text{об/мин} \). Таким образом, \( 9.9 \, \text{рад/с} \approx 9.9 \times 9.55 \approx 94.5 \, \text{об/мин} \).