Question

Планеты с массами 6m и 9m обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила притяжения к звезде в 3 раза больше, чем для второй. Каково отношение радиусов орбит первой и второй планет?

Answer 1

Ответ: Отношение радиусов орбит первой и второй планет равно 1/3.

Объяснение:Сила притяжения пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату радиуса орбиты. Следовательно, если сила притяжения для первой планеты в 3 раза больше, чем для второй, то радиус орбиты первой планеты в 3 раза меньше, чем радиус орбиты второй планеты. Отношение радиусов орбит первой и второй планет равно 1/3.

Answer 2

Для описания силы притяжения между звездой и планетой можно использовать закон всемирного тяготения, который формулируется как:

\[ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

где \( F \) - сила притяжения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух тел, \( r \) - расстояние между центрами масс этих тел.

Массы планет обозначены как \( 6m \) и \( 9m \), а отношение сил притяжения для первой к второй планете равно 3:1. Мы можем записать уравнения для сил притяжения к звезде для обеих планет:

Для первой планеты (\( m_1 = 6m \)): \[ F_1 = G \cdot \frac{m_{\text{звезда}} \cdot (6m)}{r_1^2} \]

Для второй планеты (\( m_2 = 9m \)): \[ F_2 = G \cdot \frac{m_{\text{звезда}} \cdot (9m)}{r_2^2} \]

Условие отношения сил притяжения: \[ F_1 = 3 \cdot F_2 \]

Сравниваем уравнения: \[ G \cdot \frac{m_{\text{звезда}} \cdot (6m)}{r_1^2} = 3 \cdot G \cdot \frac{m_{\text{звезда}} \cdot (9m)}{r_2^2} \]

Масса звезды (\( m_{\text{звезда}} \)) сокращается, и мы можем упростить уравнение, получив:

\[ \frac{6}{r_1^2} = \frac{27}{r_2^2} \]

Теперь мы можем выразить отношение радиусов орбит первой и второй планет:

\[ \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{27}{6}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, отношение радиусов орбит первой и второй планет равно \( \frac{3}{\sqrt{2}} \).