Question

На дифракційну ґратку нормально ДО ЇЇ поверхні падае монохроматичний пучок світла з довжиною хвилі 500 нм. На відстані 1 м паралельно гратці розташований екран, на якому відстань між центральним і третім дифракційним зображенням становить 12 см. Визначте період дифракційної гратки. ​

Answer 1

Ответ:

Період дифракційної ґратки можна знайти з формули для дифракційної карти:

d * sin(θ) = m * λ

де d - період ґратки, θ - кут відхилення дифракційного максимуму від напрямку прямолінійного поширення світла, λ - довжина хвилі світла, а m - порядок дифракційного максимуму.

У цьому завданні ми маємо два дифракційних максимуми: центральний та третій максимум. Так як світло падає нормально до ґратки, то для центрального максимуму ми маємо sin(θ) = 0, тобто θ = 0. Для третього максимуму маємо sin(θ) = (m * λ) / d, де m = 3.

Так як відстань між екраном та ґраткою досить велика (1 м), можна вважати, що кут відхилення дифракційного максимуму дуже малий, тобто sin(θ) ≈ tan(θ) ≈ θ.

Отже, маємо такі відношення для центрального та третього максимумів:

θ_c = 0

θ_3 = (m * λ) / d = (3 * 500 нм) / d

Також з умови задачі маємо:

L = 1 м

x_3 - x_c = 12 см = 0.12 м

Для центрального максимуму x_c = 0, тому можна записати:

x_3 = (θ_3 * L) / tan(θ_3) = (3 * 500 нм * L) / (d * tan(θ_3))

Отже, підставляючи вираз для θ_3 та вираз для x_3, отримуємо:

x_3 = (3 * 500 нм * L) / (d * tan((3 * 500 нм) / d)) = 0.12 м

Це рівняння має бути розв'язане чисельно. Один з можливих способів - використання ітераційного методу. Наприклад, можна скористатися методом Ньютона. Початкове наближення можна взяти рівним періоду ґратки d = λ, так як при цьому максимуми будуть р

Answer 2

Для вирішення цієї задачі ми можемо скористатися рівнянням дифракційної гратки:

\[d \cdot \sin(\theta_m) = m \cdot \lambda,\]

де: - \(d\) - період гратки, - \(\theta_m\) - кут дифракції для m-го порядку, - \(m\) - порядок дифракції, - \(\lambda\) - довжина хвилі світла.

У нашому випадку \(m = 1\) для третього зображення, і ми можемо записати рівняння для третього порядку:

\[d \cdot \sin(\theta_3) = \lambda.\]

Також, ми можемо використовувати тригонометричний тангенс, оскільки \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) \) при малих кутах.

\[d \cdot \tan(\theta_3) = \lambda.\]

Кут дифракції можна знайти, використовуючи трикутник на екрані між центральним і третім зображенням:

\[\tan(\theta_3) = \frac{x}{L},\]

де \(x\) - відстань між центральним і третім зображенням на екрані, \(L\) - відстань від гратки до екрану.

Підставимо це у наше рівняння:

\[d \cdot \frac{x}{L} = \lambda.\]

Тепер ми можемо вирішити це рівняння відносно періоду гратки \(d\):

\[d = \frac{\lambda \cdot L}{x}.\]

Підставимо дані задачі: \(\lambda = 500 \, \text{нм} = 5 \times 10^{-7} \, \text{м}, \, L = 1 \, \text{м}, \, x = 0.12 \, \text{м}\):

\[d = \frac{(5 \times 10^{-7} \, \text{м}) \cdot (1 \, \text{м})}{0.12 \, \text{м}}.\]

Обчислімо результат:

\[d = \frac{5 \times 10^{-7}}{0.12} \, \text{м} \approx 4.17 \times 10^{-6} \, \text{м}.\]

Отже, період дифракційної гратки приблизно дорівнює \(4.17 \times 10^{-6} \, \text{м}\) або \(4.17 \, \mu\text{м}\).