Question

Шар массой 2m налетает на покоящийся шар, массой m. Удар центральный, абсолютно упругий. Найти отношение скоростей после удара v 2 / v 1 -?

Answer 1

Запишем закон сохранения импульса и энергии при ударе

$\displaystyle 2mv_0 = 2mv_1+mv_2\\mv_0^2 = mv_1^2 + mv_2^2/2$

Здесь $v_0$ - начальная скорость первого шара. Сократим все на массу m и выразим $v_2$ через $v_1$
$\displaystyle v_1 = v_0-v_2/2\\v_0^2 = v_1^2+v_2^2/2\\\\v_0^2 = (v_0-v_2/2)^2+v_2^2/2\\0 = -v_0v_2+0.75v_2^2\\v_2=4v_0/3\\v_1 = v_0-2v_0/3 = v_0/3$

Итак, найдены скорости шаров после соударения. Их знаки совпадают, следовательно, шары полетят в одну сторону. Легко видеть, что
$v_2/v_1 = 4$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после удара должна быть равна: m1*v1 + m2*v2 = m1*v1' + m2*v2', где m1 – масса первого шара, v1 – его скорость до удара, v1' – его скорость после удара, m2 – масса второго шара (на который налетает первый шар), v2 – его скорость до удара, v2' – его скорость после удара.

Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара гласит, что сумма кинетических энергий системы до удара должна быть равна сумме кинетических энергий после удара: (1/2)*m1*v1^2 + (1/2)*m2*v2^2 = (1/2)*m1*v1'^2 + (1/2)*m2*v2'^2.

Имеем следующую систему уравнений: 1) 2m*v1 + m*0 = 2m*v1' + m*v2', 2) (1/2)*(2m)*v1^2 + (1/2)*m*v2^2 = (1/2)*(2m)*v1'^2 + (1/2)*m*v2'^2.

Из первого уравнения выражаем v2': 2m*v1 - 2m*v1' = m*v2', 2v1 - 2v1' = v2' v2' = 2v1 - 2v1' (1).

Подставляем это выражение во второе уравнение: (1/2)*(2m)*v1^2 + (1/2)*m*v2^2 = (1/2)*(2m)*v1'^2 + (1/2)*m*(2v1 - 2v1')^2, m*v1^2 + (1/2)*m*v2^2 = m*v1'^2 + m*(2v1 - 2v1')^2, v1^2 + (1/2)*v2^2 = v1'^2 + (2v1 - 2v1')^2, v1^2 + (1/2)*v2^2 = v1'^2 + 4v1^2 - 8v1*v1' + 4v1'^2, 5v1^2 - 8v1*v1' + (1/2)*v2^2 = 5v1'^2.

Выражаем v1'^2 через v1^2 и v2^2: 5v1'^2 = 5v1^2 - 8v1*v1' + (1/2)*v2^2, 5v1'^2 + 8v1*v1' = 5v1^2 + (1/2)*v2^2, v1'^2 + 8v1*v1' = v1^2 + (1/10)*v2^2, (v1' + 4v1)^2 = v1^2 + (1/10)*v2^2.

Берем квадратный корень от обеих частей уравнения: v1' + 4v1 = sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2), v1' = sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2) - 4v1.

Подставляем полученное выражение для v1' в формулу (1): v2' = 2v1 - 2(sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2) - 4v1), v2' = 2v1 - 2sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2) + 8v1, v2' = 10v1 - 2sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2).

Таким образом, отношение скоростей после удара v2' и v1 равно: v2'/v1 = (10v1 - 2sqrt(v1^2 + (1/10)*v2^2))/v1.