Question

Деякий газ масою m = 1 кг знаходиться при температурі Т = 300 К і тиску р1 = 0,5 МПа. В результаті ізотермічного стиску тиск газу збільшився в n = 2 рази. Робота, яка виконана при стиску газу, А = -432 кДж. Визначити молярну масу газу і початковий питомий об’єм V1/m газу. (0,004 кг/моль; 1,25 м3 /кг)

Answer 1

Давайте вирішимо це завдання.

Ми знаємо, що робота, виконана при стиску газу, визначається виразом:

\[ A = -P_1V_1 \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) \]

де: - \( A \) - робота (в даному випадку вона дорівнює -432 кДж), - \( P_1 \) - початковий тиск газу (0,5 МПа), - \( V_1 \) - початковий об'єм газу, - \( V_2 \) - кінцевий об'єм газу після стиску.

З умови задачі відомо, що тиск газу збільшився у \( n = 2 \) рази. Таким чином, \( V_2 = \frac{V_1}{n} \).

Підставимо це вираз в рівняння для роботи:

\[ -432 \, \text{кДж} = -0,5 \, \text{МПа} \cdot V_1 \ln(2) \]

Розв'яжемо це рівняння відносно \( V_1 \). Зазначте, що в даному випадку логарифм - натуральний логарифм (з основою \( e \)).

\[ \ln(2) \approx 0,693 \]

\[ V_1 \approx \frac{-432 \, \text{кДж}}{-0,5 \, \text{МПа} \cdot 0,693} \]

\[ V_1 \approx 1242,48 \, \text{м}^3 \]

Тепер, ми можемо визначити масу газу за допомогою рівняння стану ідеального газу:

\[ PV = nRT \]

де: - \( P \) - тиск, - \( V \) - об'єм, - \( n \) - кількість молекул (моль), - \( R \) - універсальна газова стала, - \( T \) - температура в кельвінах.

Ми хочемо визначити молярну масу газу \( m \), тому перепишемо рівняння, виражаючи \( n \) через масу і молекулярну масу:

\[ n = \frac{m}{M} \]

де: - \( m \) - маса газу, - \( M \) - молекулярна маса газу.

Підставимо це в рівняння для ідеального газу:

\[ PV = \frac{m}{M}RT \]

Розв'яжемо відносно молекулярної маси \( M \):

\[ M = \frac{mRT}{PV} \]

Підставимо відомі значення:

\[ M = \frac{(1 \, \text{кг})(300 \, \text{K})(8,31 \, \text{кПа} \cdot \text{м}^3/\text{моль} \cdot \text{K})}{(0,5 \, \text{МПа})(1242,48 \, \text{м}^3)} \]

\[ M \approx 0,004 \, \text{кг/моль} \]

Отже, молярна маса газу \( M \) приблизно дорівнює 0,004 кг/моль.

Тепер, щоб знайти початковий питомий об'єм \( \frac{V_1}{m} \), поділімо \( V_1 \) на масу газу \( m \):

\[ \frac{V_1}{m} = \frac{1242,48 \, \text{м}^3}{1 \, \text{кг}} \]

\[ \frac{V_1}{m} \approx 1242,48 \, \text{м}^3/\text{кг} \]

Отже, початковий питомий об'єм газу приблизно дорівнює 1242,48 м^3/кг.