Question

Знайти час, за який постійна сила в 3 кН, що прикладена до ободу шківа радіусом 5 см розкручує систему від 2 до 30 об/с. Момент інерції системи складає 1,5кг м^2.

Answer 1

Щоб знайти час, за який постійна сила в 3 кН, що прикладена до ободу шківа радіусом 5 см, розкручує систему від 2 до 30 об/с, можна скористатися другим законом Ньютона для обертового руху:

\[ \tau = I \cdot \alpha \]

де: - \(\tau\) - момент сили (в даному випадку - момент сили, створений постійною силою на ободі шківа), - \(I\) - момент інерції системи, - \(\alpha\) - кутовий прискорення системи.

Момент сили (\(\tau\)) можна обчислити за допомогою відношення моменту сили до радіуса:

\[ \tau = F \cdot r \]

де: - \(F\) - сила (3 кН або 3000 Н), - \(r\) - радіус ободу шківа (5 см або 0.05 м).

Отже, \(\tau = 3000 \, \text{Н} \cdot 0.05 \, \text{м} = 150 \, \text{Н} \cdot \text{м}\).

Тепер можемо використати другий закон Ньютона для обертового руху:

\[ \tau = I \cdot \alpha \]

\[ 150 \, \text{Н} \cdot \text{м} = 1.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \alpha \]

\[ \alpha = \frac{150 \, \text{Н} \cdot \text{м}}{1.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2} = 100 \, \text{рад/с}^2 \]

Тепер використаємо третій кінематичний рівняння обертового руху для знаходження часу (\(t\)):

\[ \omega_f = \omega_i + \alpha \cdot t \]

де: - \(\omega_f\) - кінцева кутова швидкість (30 об/с або \(2\pi \cdot 30 \) рад/с), - \(\omega_i\) - початкова кутова швидкість (2 об/с або \(2\pi \cdot 2 \) рад/с).

\[ 2\pi \cdot 30 \, \text{рад/с} = 2\pi \cdot 2 \, \text{рад/с} + 100 \, \text{рад/с}^2 \cdot t \]

\[ 60 \, \text{рад/с} = 4\pi \, \text{рад/с} + 100 \, \text{рад/с}^2 \cdot t \]

\[ 100 \, \text{рад/с}^2 \cdot t = 60 \, \text{рад/с} - 4\pi \, \text{рад/с} \]

\[ t = \frac{60 \, \text{рад/с} - 4\pi \, \text{рад/с}}{100 \, \text{рад/с}^2} \]

\[ t \approx \frac{60 - 4\pi}{100} \, \text{с} \]

Отже, час, за який постійна сила в 3 кН розкручує систему від 2 до 30 об/с, при моменті інерції системи 1.5 кг·м², становить приблизно \(\frac{60 - 4\pi}{100}\) секунд.