Question

Сталий за модулем вектор а, рівномірно обертається проти годинникової стрілки в площині (х, у), переходить за час t з положення, в якому він збігався за напрямком з віссю х, у положення, в якому він збігається з віссю у. Знайти середня значення вектора а за час t1= 2T/5 і модуль цього середнього значення.

Answer 1

Для знаходження середнього значення вектора a за час t1 = 2T/5, спочатку розглянемо траєкторію руху вектора a.

Вектор a спочатку збігався за напрямком з віссю x і рівномірно обертався протигодинниковою стрілкою в площині (х, у). Після часу t = T він перейшов у положення, в якому збігається з віссю у.

Отже, вектор a пройшов частину кола з радіусом R (відстань від віссі x до віссі у) за час T.

Тепер ми можемо знайти довжину дуги кола, яку вектор a пройшов протягом часу t1 = 2T/5. Для цього використовуємо відомий закон рівномірного руху по колу:

Довжина дуги кола = R * кут (в радіанах)

Весь коло має 2π радіанів, тому довжина дуги, яку пройшов вектор a за час t1, дорівнює:

Довжина дуги = R * (2π * 2T/5T) = 4/5 * 2πR = (8/5)πR

Тепер ми знаємо довжину дуги, яку пройшов вектор a за час t1. Для знаходження середнього значення вектора a, розділимо цю довжину на час t1:

Середнє значення вектора a = Довжина дуги / t1 = [(8/5)πR] / (2T/5) = (4πR) / T

Тепер можемо знайти модуль цього середнього значення:

|Середнє значення вектора a| = |(4πR) / T| = (4πR) / T

Отже, середнє значення вектора a за час t1 = 2T/5 дорівнює (4πR) / T, і його модуль також дорівнює (4πR) / T.

Answer 2

Для вирішення даної задачі, спочатку знайдемо положення вектора a після часу t.

За умовою, вектор a рівномірно обертається проти годинникової стрілки в площині (х, у). Це означає, що напрямок вектора a зміщується на кут ω за кожний пройдений проміжок часу t.

Так як вектор a збігається з віссю х у початковому положенні і з віссю у в кінцевому положенні, можна припустити, що вектор a лежить в площині (х, у).

Знаходження положення вектора a

Амплітуда вектора a залишається незмінною, оскільки він рівномірно обертається. Тому, для знаходження положення вектора a, ми можемо скористатися координатами вектора a в початковому положенні та кутом ω.

За допомогою простого геометричного міркування, можна знайти координати вектора a в кінцевому положенні:

x' = a * cos(ωt) y' = a * sin(ωt)

Знаходження середнього значення вектора a

Для знаходження середнього значення вектора a, ми можемо використати середнє арифметичне його координат.

Середнє значення координати x за час t1 можна знайти, обчисливши середнє арифметичне між початковим значенням координати x і кінцевим значенням координати x:

x_avg = (x + x') / 2

Аналогічно, середнє значення координати y за час t1 можна знайти, обчисливши середнє арифметичне між початковим значенням координати y і кінцевим значенням координати y:

y_avg = (y + y') / 2

Знаходження модуля середнього значення вектора a

Модуль середнього значення вектора a можна знайти, використовуючи теорему Піфагора:

|a_avg| = sqrt(x_avg^2 + y_avg^2)

Тепер, ми можемо підставити значення x_avg та y_avg, які ми обчислили раніше, щоб знайти модуль середнього значення вектора a.

Це була детальна процедура знаходження середнього значення вектора a та модуля цього середнього значення за час t1.