Question

На момент початку спостереження відстань між двома тілами дорівнювала 4,5м. Перше тіло почало рух із стану спокою з прискоренням 0,2 м/с². Друге тіло почало рух слідом при початковій швидкості 2м/с та прискоренні 0,4м/с². Запишіть рівняння залежності Х = X(t) в системі відліку, в якій при t = 0 координати тіл мають значення рівні Х1 = 4,5м та Х2 =0. Визначити час та місце зустрічі.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі ми спочатку записуємо рівняння руху для кожного з тіл.

Для першого тіла, яке рухається з прискоренням 0,2 м/с², маємо наступне рівняння руху:

\[X_1(t) = X_{10} + V_{10}t + \frac{1}{2}a_1t^2\]

де: - \(X_1(t)\) - відстань першого тіла від початку координат в момент часу \(t\), - \(X_{10}\) - початкова координата першого тіла (4,5 м), - \(V_{10}\) - початкова швидкість першого тіла (0 м/с, оскільки тіло починає рух зі спокою), - \(a_1\) - прискорення першого тіла (0,2 м/с²).

Для другого тіла, яке має початкову швидкість 2 м/с та прискорення 0,4 м/с², маємо наступне рівняння руху:

\[X_2(t) = X_{20} + V_{20}t + \frac{1}{2}a_2t^2\]

де: - \(X_2(t)\) - відстань другого тіла від початку координат в момент часу \(t\), - \(X_{20}\) - початкова координата другого тіла (0 м), - \(V_{20}\) - початкова швидкість другого тіла (2 м/с), - \(a_2\) - прискорення другого тіла (0,4 м/с²).

Ми хочемо знайти момент часу, коли обидва тіла зустрінуться, тобто коли їхні координати будуть однакові (\(X_1(t) = X_2(t)\)). Таким чином, ми можемо записати рівняння:

\[X_1(t) = X_2(t)\]

Підставляючи відповідні значення, маємо:

\[4.5 + 0 \cdot t + 0.1 \cdot t^2 = 0 + 2t + 0.2 \cdot t^2\]

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

\[0.1t^2 - 2t + 4.5 = 0\]

Ми маємо квадратне рівняння. Для знаходження часу, коли тіла зустрінуться, можна використовувати квадратну формулу:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

де \(a = 0.1\), \(b = -2\), \(c = 4.5\).

Підставляючи значення, отримуємо:

\[t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot 4.5}}{2 \cdot 0.1}\]

Розв'язуємо це рівняння:

\[t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.8}}{0.2}\] \[t = \frac{2 \pm \sqrt{2.2}}{0.2}\]

Тепер знайдемо два значення часу:

1. \[t_1 = \frac{2 + \sqrt{2.2}}{0.2} \approx 15.16\,сек\]

2. \[t_2 = \frac{2 - \sqrt{2.2}}{0.2} \approx 4.84\,сек\]

Отже, є два моменти часу, коли тіла можуть зустрітися: приблизно через 4.84 секунди та приблизно через 15.16 секунд.

Тепер ми можемо знайти місце зустрічі, підставивши ці значення часу в рівняння руху для будь-якого з тіл. Наприклад, можна використовувати рівняння для першого тіла:

\[X_1(t_2) = 4.5 + 0 \cdot 4.84 + 0.1 \cdot (4.84)^2\]

Обчислимо це значення:

\[X_1(4.84) = 4.5 + 0 + 0.1 \cdot (4.84)^2\] \[X_1(4.84) ≈ 4.5 + 0.1 \cdot (23.3936) ≈ 4.5 + 2.33936 ≈ 6.83936\,м\]

Отже, тіла зустрінуться приблизно за 4.84 секунди на відстані приблизно 6.84 метрах від початку координат.