Question

Помогите пожалуйста решить 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: dy=y(3x(в квадрате) -1) dx 2. Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: a) y'= x+3x( в квадрате) , если y(2) = 5; б) 5y'-4y=0 , если y(0) = 1;

Answer 1

Ответ:

1237900007788866777777777

Answer 2

Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Для решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, мы можем использовать метод разделения переменных, который состоит в том, чтобы выразить дифференциалы y и x отдельно и затем проинтегрировать обе части уравнения.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения: dy = y(3x^2 - 1)dx

Для начала, давайте выведем уравнение в правильном виде для применения метода разделения переменных:

dy = y(3x^2 - 1)dx

Разделим обе части уравнения на y(3x^2 - 1):

dy/y = (3x^2 - 1)dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1/y)dy = ∫(3x^2 - 1)dx

Интегрируя, получим:

ln|y| = x^3 - x + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Применяя экспоненту к обеим сторонам уравнения, получим:

|y| = e^(x^3 - x + C1)

Так как экспонента всегда положительна, мы можем опустить модуль:

y = ±e^(x^3 - x + C1)

где C1 - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения первого порядка dy = y(3x^2 - 1)dx имеет вид:

y = ±e^(x^3 - x + C1)

2. Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными:

a) y' = x + 3x^2, если y(2) = 5

Для нахождения частного решения данного уравнения, мы должны использовать начальное условие y(2) = 5.

Используя метод разделения переменных, мы можем записать уравнение в следующем виде:

dy = (x + 3x^2)dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫dy = ∫(x + 3x^2)dx

Интегрируя, получим:

y = (1/2)x^2 + x^3 + C2

Теперь, подставим начальное условие y(2) = 5:

5 = (1/2)(2)^2 + (2)^3 + C2

5 = 2 + 8 + C2

C2 = 5 - 2 - 8

C2 = -5

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(2) = 5 имеет вид:

y = (1/2)x^2 + x^3 - 5

b) 5y' - 4y = 0, если y(0) = 1

Аналогично предыдущему примеру, для нахождения частного решения данного уравнения, мы используем начальное условие y(0) = 1.

Используя метод разделения переменных, мы можем записать уравнение в следующем виде:

(5y' - 4y)dx = 0

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(5y' - 4y)dx = ∫0dx

Упрощая, получим:

5y = C3

где C3 - произвольная постоянная.

Теперь, подставим начальное условие y(0) = 1:

5(1) = C3

C3 = 5

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 1 имеет вид:

y = (1/5)

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.