Question

Тележка на американских горках начинает движение без начальной скорости в наивысшей точке на высоте 20 м над землей. Она резко опускается вниз до высоты 2м и затем круто взмывает вверх до вершины следующей горы которая расположена на высоте 15м. Определите скорость тележки в желобе на высоте 2м и на 15-метровой вершине. Потерями энергии пренебречь​

Answer 1

Дано:

V₀=0 м/с

h₀=20 м

h₁=2 м

h₂=15 м

g=10 м/с²

V₁-?

V₂-?

Решение:

В начальном положении тело обладает только потенциальной энергией, т.к. скорость равна нулю. В положении №1 тело обладает и потенциальной и кинетической энергией. По закону сохранения энергии:

$\displaystyle mgh_0=\frac{mV^2_1}{2} +mgh_1\\\\\\\frac{mV^2_1}{2}=mg(h_0-h_1)\\\\\\\frac{V^2_1}{2}=g(h_0-h_1)\\\\\\V^2_1=2g(h_0-h_1) \\\\\\V_1=\sqrt{2g(h_0-h_1)}$

Теперь подставим значения в полученную нами формулу:

$\displaystyle V_1=\sqrt{2\times10(20-2)}=\sqrt{360} \approx18,97$ м/с

Аналогичным способом приравняем энергию в случае №0 и №2:

$\displaystyle mgh_0=\frac{mV^2_2}{2} +mgh_2\\\\\\\frac{mV^2_2}{2}=mg(h_0-h_2)\\\\\\\frac{V^2_2}{2}=g(h_0-h_2)\\\\\\V^2_2=2g(h_0-h_2) \\\\\\V_2=\sqrt{2g(h_0-h_2)}$

Вычислим скорость во втором случае:

$V_2=\sqrt{2\times 10(20-15)} =\sqrt{100} =10$  м/с

Ответ: 18,97 м/с;  10 м/с

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии. Поскольку потерями энергии можно пренебречь, механическая энергия в системе сохраняется. Механическая энергия в данном случае представляется суммой кинетической и потенциальной энергий. Высота 20 м над землей в начальной точке является точкой максимальной потенциальной энергии, и скорость тележки в этой точке равна нулю. Высота 2 м над землей - это нижняя точка, когда тележка катится вниз, и это её минимальная высота. Высота 15 м над землей - это вершина следующей горки, когда тележка движется вверх. Из закона сохранения механической энергии мы можем записать: Энергия в начальной точке (20 м) = Энергия в точке 2 м + Кинетическая энергия на 2 м + Потенциальная энергия на 2 м Энергия в начальной точке (20 м) = Энергия в точке 15 м + Кинетическая энергия на 15 м + Потенциальная энергия на 15 м Так как начальная скорость в точке 20 м равна нулю, её кинетическая энергия также равна нулю. Потенциальная энергия в точке h вычисляется как m * g * h, где m - масса тележки, g - ускорение свободного падения, h - высота. Подставим значения: 0 = Энергия в точке 2 м + 0 + m * g * 2 0 = Энергия в точке 15 м + Кинетическая энергия на 15 м + m * g * 15 Теперь мы можем решить уравнения для скорости в точках 2 м и 15 м. Для точки 2 м: 0 = Энергия в точке 2 м + 0 + m * g * 2 Энергия в точке 2 м = m * g * 2 Скорость в точке 2 м можно найти, используя уравнение потенциальной энергии: Энергия в точке 2 м = 1/2 * m * v^2, где v - скорость тележки в точке 2 м m * g * 2 = 1/2 * m * v^2 2 * g = 1/2 * v^2 v^2 = 4 * g v = 2 * sqrt(g) Теперь, найдем скорость в точке 15 м: 0 = Энергия в точке 15 м + Кинетическая энергия на 15 м + m * g * 15 Энергия в точке 15 м = m * g * 15 - Кинетическая энергия на 15 м Скорость в точке 15 м можно найти, используя уравнение потенциальной энергии: Энергия в точке 15 м = 1/2 * m * v^2, где v - скорость тележки в точке 15 м m * g * 15 - 1/2 * m * v^2 = 1/2 * m * v^2 2 * m * g * 15 = m * v^2 2 * g * 15 = v^2 v = sqrt(2 * g * 15) Теперь мы можем подставить значение ускорения свободного падения g (около 9.8 м/с^2) и рассчитать скорости: Для точки 2 м: v = 2 * sqrt(g) = 2 * sqrt(9.8) ≈ 6.26 м/с Для точки 15 м: v = sqrt(2 * g * 15) = sqrt(2 * 9.8 * 15) ≈ 17.32 м/с Таким образом, скорость тележки в желобе на высоте 2 м составляет примерно 6.26 м/с, а на 15-метровой вершине - примерно 17.32 м/с.