Question

Имеется N точек в пространстве. Между каждой парой точек включен конденсатор емкостью С. Найдите емкость образовавшейся батареи конденсаторов, если она включается в цепь выводами, присоединенными к двум произвольным точкам.

Answer 1

для начала рассмотрим простейшие случаи.

для N=2 ответ С

для N=3 ответ 3С/2

а вот дальше включим воображение

пусть дана точка 1 и точка 2 к которым подключены измерительные провода. проведем отрезок между ними и через середину отрезка плоскость. все остальные N-2 точки разместим на этой плоскости. в силу симметрии задачи все эти N-2 точки имеют одинаковый потенциал и подсоединение между ними конденсаторов ни на что не влияет

в итоге мы имеем одну цепь, соединяющую 1 и 2 с емкостью С и имеем N-2 параллельных цепей с емкостью С/2

искомая емкость С+(N-2)*C/2=N*C/2 - это ответ

Answer 2

Емкость образовавшейся батареи конденсаторов может быть найдена с использованием формулы для расчета эквивалентной емкости в схемах, где конденсаторы соединены параллельно.

Если у вас есть N точек в пространстве, и между каждой парой точек подключен конденсатор емкостью С, то суммарная емкость батареи конденсаторов, когда она подключается к двум произвольным точкам, будет равна обратной величине суммы обратных емкостей каждого из конденсаторов.

Давайте обозначим емкость образовавшейся батареи как C_батареи. Тогда формула для расчета C_батареи будет следующей:

1 / C_батареи = 1 / C_1 + 1 / C_2 + 1 / C_3 + ... + 1 / C_N

Где C_1, C_2, C_3, ..., C_N - емкости каждого из конденсаторов между парами точек.

Просто сложите обратные значения всех емкостей между парами точек:

1 / C_батареи = 1 / C + 1 / C + 1 / C + ... + 1 / C (N раз)

Теперь у нас есть N одинаковых конденсаторов емкостью C, подключенных параллельно:

1 / C_батареи = N / C

Теперь выразим C_батареи:

C_батареи = C / N

Таким образом, емкость батареи конденсаторов, подключенной к двум произвольным точкам, будет равна C / N.