Question

определить на каком расстоянии нужно разместить два точечные заряды 16нКл и 20нКл в глицерина, чтобы сила отталкивания была такой же как в воздухе на расстоянии 10 см. Относительная диэлектрическая проницаемость глицерина 2,2.

Answer 1

Дано:

$q_{1} = 16 \ _{\text{H}}\text{K}_{\Lambda} = 16 \ \cdotp 10^{-9} \ \text{K}_{\Lambda}$

$q_{2} = 20 \ _{\text{H}}\text{K}_{\Lambda} = 20 \ \cdotp 10^{-9 } \ \text{K}_{\Lambda}$

$r_{1} = 10 \ \text{c}_{\text{M}} = 10^{-1} \ _{\text{M}}$

$\varepsilon_{1} = 1$

$\varepsilon_{2} = 2,2$

$F_{1} = F_{2}$

==============================

Найти: $r_{2} - ?$

==============================

Решение. Определим это расстояние через закон Кулона: модуль силы электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами прямо пропорциональный моделям их зарядов и обратно пропорциональный квадрату расстояния между ними:

$1) \ F_{1} = k\dfrac{|q_{1}||q_{2}|}{\varepsilon_{1} r_{1}^{2}}$

$2) \ F_{2} = k\dfrac{|q_{1}||q_{2}|}{\varepsilon_{2} r_{2}^{2}}$

где $k = 9 \ \cdotp 10^{9} \ \dfrac{\text{H} \ \cdotp _{\text{M}^{2}}}{\text{K}_{\Lambda^{2}}}$

Так как по условию $F_{1} = F_{2}$, то $k\dfrac{|q_{1}||q_{2}|}{\varepsilon_{1} r_{1}^{2}} = k\dfrac{|q_{1}||q_{2}|}{\varepsilon_{2} r_{2}^{2}}$

Отсюда следует, что $r_{2} = \sqrt{ \dfrac{\varepsilon_{1}r_{1}^{2}}{\varepsilon_{2}}} = r_{1}\sqrt{\dfrac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}}$

Определим значение искомой величины:

$[r_{2}] = \ _{\text{M}}$

$r_{2} = 10^{-1} \ \cdotp \sqrt{\dfrac{1}{2,2}} \approx 0,067 \ _{\text{M}} = 6,7 \ \text{c}_{\text{M}}$

==============================

Ответ: $r_{2} \approx 6,7 \ \text{c}_{\text{M}}$

Answer 2

Чтобы определить расстояние между двумя точечными зарядами в глицерине так, чтобы сила отталкивания была такой же, как в воздухе на расстоянии 10 см, мы можем воспользоваться законом Кулона для силы между двумя точечными зарядами. Формула для этой силы выглядит следующим образом:

$F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2},$

где:

• $F$ - сила между зарядами,
• $k$ - постоянная Кулона ($k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$ в вакууме),
• $q_1$ и $q_2$ - величины зарядов,
• $r$ - расстояние между зарядами.

Мы хотим, чтобы сила отталкивания в глицерине была такой же, как в воздухе. Сначала найдем силу отталкивания в воздухе на расстоянии 10 см:

$F_{\text{воздух}} = \frac{k \cdot |16 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \cdot 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл}|}{(0.1 \, \text{м})^2}.$

Теперь мы хотим найти расстояние $r_{\text{глицерин}}$ в глицерине, при котором сила отталкивания будет такой же. Мы используем то же уравнение, но теперь с учетом диэлектрической проницаемости $\varepsilon$:

$F_{\text{глицерин}} = \frac{k \cdot \varepsilon \cdot |16 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \cdot 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл}|}{r_{\text{глицерин}}^2},$

где $\varepsilon$ - относительная диэлектрическая проницаемость глицерина ($\varepsilon = 2.2$).

Так как мы хотим, чтобы силы в воздухе и глицерине были одинаковыми, мы можем установить равенство этих двух сил:

$F_{\text{воздух}} = F_{\text{глицерин}}.$

Это дает нам:

$\frac{k \cdot |16 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \cdot 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл}|}{(0.1 \, \text{м})^2} = \frac{k \cdot \varepsilon \cdot |16 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \cdot 20 \times 10^{-9} \, \text{Кл}|}{r_{\text{глицерин}}^2}.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $r_{\text{глицерин}}$:

$r_{\text{глицерин}}^2 = \frac{(0.1 \, \text{м})^2}{\varepsilon}.$

Подставим значение $\varepsilon = 2.2$:

$r_{\text{глицерин}}^2 = \frac{(0.1 \, \text{м})^2}{2.2}.$

Теперь выразим $r_{\text{глицерин}}$:

$r_{\text{глицерин}} = \sqrt{\frac{(0.1 \, \text{м})^2}{2.2}} \approx 0.21 \, \text{м}.$

Таким образом, два точечных заряда в глицерине должны быть размещены на расстоянии приблизительно 0.21 метра (или 21 см), чтобы сила отталкивания между ними была такой же, как в воздухе на расстоянии 10 см.