Question

Буду весьма благодарен, если вы поможете с решением данной задачи. Очень длинный цилиндр радиусом 1.5 см равномерно заряжен. Найдите, на каком расстоянии от его поверхности напряжённость электрического поля в 5 раз меньше, чем на его поверхности.

Answer 1

1.5:5=0.3 (его поверхности)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Кулона для электрического поля точечного заряда:

$E = \frac{k \cdot Q}{r^2}$

где:

• $E$ - напряжённость электрического поля,
• $k$ - постоянная Кулона ($k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$),
• $Q$ - заряд (в данном случае равномерно распределенный по поверхности цилиндра),
• $r$ - расстояние от центра до точки, где измеряется напряжённость поля.

Задача говорит нам, что напряжённость электрического поля в 5 раз меньше, чем на поверхности цилиндра, то есть:

$E_{\text{внутри}} = \frac{1}{5} \cdot E_{\text{поверхность}}$

Мы также знаем, что для равномерно заряженного цилиндра заряд $Q$ пропорционален площади его боковой поверхности:

$Q = \sigma \cdot A$

где:

• $\sigma$ - плотность заряда (заряд на единицу площади),
• $A$ - площадь боковой поверхности цилиндра.

Для цилиндра радиусом $R$ и высотой $h$ площадь его боковой поверхности равна $2\pi R h$ и плотность заряда равна $\frac{Q}{2\pi R h}$.

Теперь мы можем выразить $E_{\text{внутри}}$ через $E_{\text{поверхность}}$ и другие параметры:

$\frac{k \cdot \frac{Q}{2\pi R h}}{r^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{k \cdot \frac{Q}{2\pi R^2}}{R^2}$

Мы можем сократить постоянную Кулона $k$, а также заряд $Q$:

$\frac{\frac{1}{2\pi R h}}{r^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{2\pi R^2}}{R^2}$

Теперь мы можем выразить расстояние $r$ от поверхности цилиндра:

$\frac{1}{2\pi R h \cdot r^2} = \frac{1}{10\pi R^4}$

$r^2 = 5hR^2$

$r = \sqrt{5} \cdot R \sqrt{h}$

Подставляем радиус и данные из условия задачи ($R = 1.5 \, \text{см}$):

$r \approx 1.5 \cdot \sqrt{5} \, \text{см} \approx 3.354 \, \text{см}$

Таким образом, напряжённость электрического поля будет в 5 раз меньше, чем на поверхности цилиндра, на расстоянии примерно $3.354 \, \text{см}$ от его поверхности.