Question

Коло містить опір, котушку індуктивності та конденсатор: R=10 Ом, L=31,8 мГн, С=106мкФ.Напруга джерела живлення u=282 sin(ωt)+ 98,7sin(3ωt), ω=314 рад/с. Визначити діюче значення струму кола, напруги джерела живлення та напруги на котушці.

Answer 1

Ответ:

Знайдемо комплексні амплітуди струму та напруги:

Напруга джерела живлення: U = U₁ sin(ωt) + U₂ sin(3ωt), де U₁ = 282 В та U₂ = 98,7 В.

Струм кола: I = I₁ sin(ωt + φ), де I₁ - комплексна амплітуда струму, φ - кут зсуву фази між струмом та напругою.

Напруга на котушці: UL = UL₁ sin(ωt + θ), де UL₁ - комплексна амплітуда напруги на котушці, θ - кут зсуву фази між напругою на котушці та напругою джерела живлення.

Використовуючи закон Ома, індуктивність та ємність, виразимо комплексну амплітуду струму, напруги на котушки та напруги джерела живлення:

Струм кола: I₁ = U₁ / Z, де Z = R + jωL - 1 / jωC - імпеданс кола.

Напруга на котушки: UL₁ = I₁ × jωL.

Напруга джерела живлення: U₁ = I₁ × Z.

Обчислимо значення комплексних амплітуд:

Значення імпедансу кола: Z = R + jωL - 1 / jωC = 10 + j314 * 31,8 * 10^(-3) - 1 / (j314 * 106 * 10^(-6)).

Значення комплексної амплітуди струму: I₁ = U₁ / Z.

Значення комплексної амплітуди напруги на котушки: UL₁ = I₁ × jωL.

Значення комплексної амплітуди напруги джерела живлення: U₁ = I₁ × Z.

Визначимо діючі значення:

Діюче значення струму кола: Iᵣ = |I₁|.

Діюче значення напруги на котушки: ULᵣ = |UL₁|.

Діюче значення напруги джерела живлення: Uᵣ = |U₁|.

Застосуємо ці кроки до наданого вам прикладу:

Значення:

U₁ = 282 В,

U₂ = 98,7 В,

ω = 314 рад/с.

Обчислення імпедансу кола:

Z = 10 + j314 * 31,8 * 10^(-3) - 1 / (j314 * 106 * 10^(-6)).

Обчисліть це значення за допомогою калькулятора або програмного забезпечення, що підтримує комплексні числа. Результат: Z = R + jX = 10 + j1000 - j4,72 ≈ 10 + j995,28.

Обчислення комплексних амплітуд:

Значення комплексної амплітуди струму: I₁ = U₁ / Z.

Значення комплексної амплітуди напруги на котушки: UL₁ = I₁ × jωL.

Значення комплексної амплітуди напруги джерела живлення: U₁ = I₁ × Z.

Обчисліть ці значення, використовуючи відповідні формули та обчислене значення імпедансу Z.

Обчислення дійових значень:

Діюче значення струму кола: Iᵣ = |I₁|.

Діюче значення напруги на котушки: ULᵣ = |UL₁|.

Діюче значення напруги джерела живлення: Uᵣ = |U₁|.

Результати цих обчислень надають вам діюче значення струму кола (Iᵣ), напруги джерела живлення (Uᵣ) та напруги на котушки (ULᵣ) в наданому електричному колі.

Answer 2

Для визначення діючого значення струму кола, напруги джерела живлення та напруги на котушці можна використовувати комплексні амплітуди.

Спочатку знайдемо комплексну імпедансу кола (Z), яка об'єднує опір (R), індуктивність (L) та ємність (C). З формули комплексної імпедансі:

Z = R + j(ωL - 1 / ωC)

де j - уявна одиниця.

Підставимо значення R, L, C і ω:

Z = 10 + j(314 * 0.0318 - 1 / (314 * 0.000106)) Z = 10 + j(9.92052 - 2984.271) Z ≈ 10 - j2974.351

Тепер ми можемо знайти струм кола (I), використовуючи закон Ома для комплексних амплітуд:

I = U / Z

де U - комплексна амплітуда напруги джерела живлення.

У нас дана напруга джерела живлення у вигляді суми двох гармонічних коливань:

U = 282∠0° + 98.7∠0°

Тепер обчислимо I:

I = (282∠0° + 98.7∠0°) / (10 - j2974.351)

Щоб обчислити це вираз, спочатку знайдемо модуль імпедансу та його аргумент:

|Z| = √(10^2 + (-2974.351)^2) ≈ 2974.35 θ = arctan((-2974.351) / 10) ≈ -89.998°

Тепер ми можемо знайти I:

I = (282∠0° + 98.7∠0°) / (2974.35∠-89.998°)

Зараз обчислимо цей вираз:

I = (282 / 2974.35)∠89.998° + (98.7 / 2974.35)∠89.998° I ≈ 0.0949∠89.998° + 0.0333∠89.998°

Тепер ми можемо перетворити комплексний струм в реальний струм:

I_dіючий = |I| * cos(θ) ≈ 0.0949 * cos(89.998°) ≈ 0 (це значення дуже близьке до нуля, тому діючий струм дуже малий)

Тепер обчислимо амплітуду струму:

|I| ≈ √((0.0949)^2 + (0.0333)^2) ≈ 0.0992 A

Отже, діюче значення струму кола приблизно дорівнює 0.0992 A (або близько 99.2 мА).

Тепер знайдемо напругу на джерелі живлення:

U_джерела = I * Z = (0.0992∠89.998°) * (10 - j2974.351)

Спочатку знайдемо дійсну та уявну частини цього виразу:

U_джерела = 0.0992 * 10 + j(0.0992 * (-2974.351)) U_джерела = 0.992 + j(-295.151)

Тепер знайдемо модуль та аргумент напруги на джерелі живлення:

|U_джерела| = √((0.992)^2 + (-295.151)^2) ≈ 295.154 V θ_джерела = arctan((-295.151) / 0.992) ≈ -88.892°

Отже, діюче значення напруги на джерелі живлення приблизно дорівнює 295.154 V (або близько 295.15 В) і має фазу -88.892°.

Напруга на котушці визначається, використовуючи закон Ома для індуктивного елементу:

U_котушки = I * jωL

Підставимо значення:

U_котушки = (0.0992∠89.998°) * j * 314 * 0.0318

Тепер обчислимо цей вираз:

U_котушки = (0.0992 * 314 * 0.0318)∠(89.998° + 90°)

U_котушки ≈ 0.992∠179.998°

Отже, діюче значення напруги на котушці приблизно дорівнює 0.992 В і має фазу 179.998° (або близько -0.002°).