Question

6) f(x) = 2x³ + 3x² + 1. Знайти точки екстремуму та екстремальні значення функції.​

Answer 1

Ответ:

6·x2+6·x=0

x1=0

x2=-1

Вычисляем значения функции

f(0)=1

f(-1)=2

Ответ:

f(min) = 1, f(max) = 2

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y″=12·x+6

или

y″=6·(2·x+1)

Вычисляем:

f″(0)=6>0- значит эта точка - минимума функции.

f″(-1)=-6<0- значит эта точка - максимума функции

Answer 2

Щоб знайти точки екстремуму та екстремальні значення функції $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$, спершу знайдемо похідну функції та розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$, щоб знайти критичні точки. Потім визначимо, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, і знайдемо відповідні значення функції $f(x)$.

1. Знайдемо першу похідну $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 + 1)$ $f'(x) = 6x^2 + 6x$

2. Тепер розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$ для знаходження критичних точок:

$6x^2 + 6x = 0$

3. Перше, спростимо рівняння, розділивши його на 6:

$x^2 + x = 0$

4. Тепер факторизуємо це рівняння:

$x(x + 1) = 0$

З цього рівняння ми отримуємо дві можливі критичні точки:

a) $x = 0$ b) $x = -1$

5. Тепер, щоб визначити, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, використаємо другу похідну та тест другої похідної.

Знайдемо другу похідну $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x)$ $f''(x) = 12x + 6$

6. Підставимо критичні точки $x = 0$ і $x = -1$ у другу похідну:

Для $x = 0$: $f''(0) = 12(0) + 6 = 6$

Для $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6$

7. Тепер використаємо тест другої похідної:

• Якщо $f''(x) > 0$, то точка є мінімумом.
• Якщо $f''(x) < 0$, то точка є максимумом.
• Якщо $f''(x) = 0$, то тест другої похідної не дає інформації.

Отже, знаходимо, що:

• При $x = 0$ значення другої похідної $f''(0) = 6 > 0$, отже, точка $x = 0$ є мінімумом функції.

• При $x = -1$ значення другої похідної $f''(-1) = -6 < 0$, отже, точка $x = -1$ є максимумом функції.

8. Знайдемо відповідні значення функції $f(x)$ у цих точках:

Для $x = 0$: $f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Для $x = -1$: $f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

Отже, мінімум функції $f(x)$ рівний 1 і він досягається в точці $x = 0$, а максимум рівний 2 і досягається в точці $x = -1$.