Question

100 баллов!!!! Из изолированной проволоки сделана петля в форме восьмерки, радиусы колец равны r и R. Определите разность потенциалов между точками соприкосновения провода, если петлю поместить в магнитное поле, индукция которого меняется с течением времени по закону В = kt, где k - постоянный коэффициент. Вектор индукции В перпендикулярен плоскости витка.

Answer 1

Для случая перехлестывающихся витков восьмерки
***************************************************************
эдс большего витка
ЭДС1 = к*pi*R^2
эдс меньшего витка
ЭДС2 = к*pi*r^2
полное ЭДС в цепи
ЭДС=ЭДС1-ЭДС2=к*pi*(R^2-r^2)
сопротивление большего витка 2*pi*R*ro/S
сопротивление мненьшего витка 2*pi*r*ro/S
ток по кругу
I = ЭДС / ( 2*pi*R*ro/S+ 2*pi*r*ro/S)
разность потенциалов в точке соприкосновения
ЭДС1-I*2*pi*R*ro/S = к*pi*R^2 - к*pi*(R^2-r^2)*2*pi*R*ro/S / ( 2*pi*R*ro/S+ 2*pi*r*ro/S) =
= к*pi*R^2 - к*pi*(R^2-r^2)*R / ( R+r) = к*pi*(R^2*R+R^2*r - R^2*R+r^2*R / ( R+r) =
= к*pi*(R^2*r +r^2*R / ( R+r) = к*pi*R*r

для случая касающихся витков восьмерки
***************************************************************
эдс большего витка
ЭДС1 = к*pi*R^2
эдс меньшего витка
ЭДС2 = к*pi*r^2
полное ЭДС в цепи
ЭДС=ЭДС1+ЭДС2=к*pi*(R^2+r^2)
сопротивление большего витка 2*pi*R*ro/S
сопротивление мненьшего витка 2*pi*r*ro/S
ток по кругу
I = ЭДС / ( 2*pi*R*ro/S+ 2*pi*r*ro/S)
разность потенциалов в точке соприкосновения
ЭДС1-I*2*pi*R*ro/S = к*pi*R^2 - к*pi*(R^2+r^2)*2*pi*R*ro/S / ( 2*pi*R*ro/S+ 2*pi*r*ro/S) =
= к*pi*R^2 - к*pi*(R^2+r^2)*R / ( R+r) = к*pi*(R^2*R+R^2*r - R^2*R-r^2*R / ( R+r) =
= к*pi*(R^2*r -r^2*R / ( R+r) = к*pi*R*r*(R-r)/(R+r)
*************************
оба случая изображены на рисунке

Answer 2

Для определения разности потенциалов между точками соприкосновения провода в данной ситуации, нам понадобится использовать закон электромагнитной индукции Фарадея. Этот закон гласит, что индуцированная в проводнике ЭДС (разность потенциалов) пропорциональна скорости изменения магнитного потока внутри петли. Формула для ЭДС Фарадея выглядит следующим образом:

ЭДС = -dΦ/dt,

где ЭДС - электродвижущая сила (разность потенциалов) в проводнике, dΦ/dt - скорость изменения магнитного потока внутри петли.

Магнитный поток Ф через петлю можно выразить следующим образом:

Φ = B * S,

где Φ - магнитный поток, B - индукция магнитного поля, S - площадь петли.

В данном случае у нас есть петля в форме восьмерки с двумя кольцами радиусами r и R. Магнитное поле индуцируется и направлено перпендикулярно к плоскости витка. Площадь S каждого кольца равна площади круга:

S = πr^2 (для внутреннего кольца радиусом r) S = πR^2 (для внешнего кольца радиусом R)

Индукция B в данной ситуации зависит от времени:

B = kt,

где k - постоянный коэффициент.

Теперь, мы можем выразить магнитный поток через одно из кругов:

Φ = πr^2 * kt,

Теперь мы можем найти скорость изменения магнитного потока dΦ/dt:

dΦ/dt = πr^2 * k.

И, наконец, можем использовать закон Фарадея, чтобы найти разность потенциалов между точками соприкосновения провода:

ЭДС = -dΦ/dt = -πr^2 * k.

Таким образом, разность потенциалов между точками соприкосновения провода будет равна -πr^2k.