Question

Два одинаковых конденсатора, соединенные последовательно, заряжены до некоторой разности потенциалов. После отключения источника напряжения к этим конденсаторам присоединили параллельно два таких же незаряженных последовательно соединенных конденсатора, но заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Найти отношение W1/W2 энергий системы до и после присоединения.

Answer 1

Общий заряд q остаётся неизменным. В общем случае энергия заряженного конд-ра с ёмкостью С равна E= $\frac{ q^{2} }{2C}$.
В данном случае общая ёмкость увеличилась в 3 раза.
Следовательно, $\frac{ W_{1} }{ W_{2} }= 3$

Answer 2

Для решения этой задачи используем законы сохранения заряда и энергии конденсаторов.

Пусть емкость каждого из первых двух конденсаторов равна С, разность потенциалов на них после зарядки равна U1, и заряд на каждом из них равен Q1.

1. Начнем с расчета энергии системы до присоединения двух конденсаторов с диэлектриком. Энергия конденсатора рассчитывается по формуле:

W = (1/2) * C * U^2

Где: W1 - энергия первого конденсатора до присоединения диэлектрика W2 - энергия второго конденсатора до присоединения диэлектрика

Так как оба конденсатора одинаковы и имеют одинаковую емкость C, то их энергия до присоединения диэлектрика одинакова:

W1 = (1/2) * C * U1^2 W2 = (1/2) * C * U1^2

2. Теперь присоединим два конденсатора с диэлектриком, имеющим диэлектрическую проницаемость ε = 2. При этом емкость конденсаторов увеличится в 2 раза (так как диэлектрическая проницаемость ε увеличилась в 2 раза), и новая емкость каждого из них будет 2C.

3. Рассчитаем заряд на каждом из конденсаторов после присоединения диэлектрика. Используем закон сохранения заряда:

Q до = Q1 (заряд на первом конденсаторе до присоединения) Q после = Q1 + Q2 (заряд на первом конденсаторе после присоединения)

Из закона сохранения заряда следует, что Q до = Q после, поэтому:

Q1 = Q1 + Q2

Q2 = -Q1 (заряд на втором конденсаторе после присоединения)

4. Теперь рассчитаем напряжение на каждом из конденсаторов после присоединения диэлектрика. Используем формулу для напряжения на конденсаторе:

U = Q / (C * ε)

U до = Q1 / (C * 1) = Q1 / C (напряжение на первом конденсаторе до присоединения) U после = Q2 / (2C * 2) = -Q1 / (4C) = -(1/4) * (Q1 / C) (напряжение на первом конденсаторе после присоединения)

5. Теперь рассчитаем энергию каждого из конденсаторов после присоединения диэлектрика:

W1' = (1/2) * 2C * (-(1/4) * (Q1 / C))^2 = (1/2) * 2 * (1/16) * (Q1^2 / C)

W2' = (1/2) * 2C * (-(1/4) * (Q1 / C))^2 = (1/2) * 2 * (1/16) * (Q1^2 / C)

6. Теперь найдем отношение W1' / W2':

W1' / W2' = [(1/2) * 2 * (1/16) * (Q1^2 / C)] / [(1/2) * 2 * (1/16) * (Q1^2 / C)] = 1

Итак, отношение W1' / W2' равно 1. Это означает, что энергия системы после присоединения диэлектрика остается такой же, как и до присоединения диэлектрика.