Question

На однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R намотана легкая нить , к концу которой прикреплен груз массой m. В момент t=0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси , найдите ускорение груза и кинематическую энергию всей системы как функцию времени.

Answer 1

J - момент инерции однородного сплошного цилиндра
J = M*R^2/2
T - сила натяжения нити
T*R - момент этой силы
ɛ - угловое ускорение цилиндра
**************
запишем 3 исходных уравнения :
J*ɛ = T*R  - уравнение вращательного движения
ma =  mg - T - уравнение движения груза на нити
a =ɛ *R - кинематическая связь
***************
J = M*R^2/2
ɛ=а/R
T =m(g - a)
J*ɛ =M*R^2/2 * а/R =M*R*а/2 =T*R = m(g - a) *R
***************
M*R*а/2 = m(g - a) *R
M*а = 2m(g - a)
a=2mg/(2m+M) - искомое ускорение груза
*************************
кинетическая энергия системы появляется за счет изменения потенциальной энергии опускающегося груза
поэтому
E = mgh = m*g*a*t^2/2 = m*g*2mg/(2m+M)*t^2/2 =  (m*g*t)^2/(2m+M)

Answer 2

Для нахождения ускорения груза и кинематической энергии всей системы как функции времени, мы можем воспользоваться законами Ньютона и принципами сохранения энергии.

1. Начнем с нахождения ускорения груза.

Сначала определим силы, действующие на груз:

• Гравитационная сила F_gravity, действующая вниз, равна mg, где m - масса груза, g - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²).

Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение груза: F_net = ma, где F_net - сумма всех сил, действующих на груз, a - ускорение.

В нашем случае: F_net = F_gravity, ma = mg.

Теперь можно найти ускорение: a = g.

2. Теперь найдем кинематическую энергию всей системы как функцию времени.

Кинематическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех ее частей.

Кинетическая энергия груза: KE_g = (1/2) * m * v^2,

где v - скорость груза.

У нас есть ускорение груза (a), и мы знаем, что начальная скорость груза (t=0) равна 0 (груз пришел в движение). Таким образом, скорость груза можно выразить как: v = at.

Теперь мы можем найти кинетическую энергию груза как функцию времени: KE_g = (1/2) * m * (at)^2 = (1/2) * m * a^2 * t^2.

Кинетическая энергия цилиндра (барабана) вращения вокруг своей оси равна: KE_cylinder = (1/2) * I * ω^2,

где I - момент инерции цилиндра, который для однородного цилиндра равен (1/2) * M * R^2, а ω - угловая скорость вращения цилиндра.

Угловая скорость связана с линейной скоростью цилиндра следующим образом: v_cylinder = R * ω,

где v_cylinder - линейная скорость цилиндра.

Из уравнения (1) выразим v_cylinder: v_cylinder = R * a.

Теперь мы можем выразить угловую скорость: ω = v_cylinder / R = (R * a) / R = a.

Теперь мы можем найти кинетическую энергию цилиндра как функцию времени: KE_cylinder = (1/2) * (1/2) * M * R^2 * a^2 = (1/4) * M * R^2 * a^2.

Таким образом, кинематическая энергия всей системы как функция времени будет равна сумме кинетических энергий груза и цилиндра: KE_total = KE_g + KE_cylinder = (1/2) * m * a^2 * t^2 + (1/4) * M * R^2 * a^2.

Это и есть кинематическая энергия всей системы как функция времени.