Question

Тело соскальзывает с наклонной плоскости высотой Н, имеющей, угол наклона 45 градусов, и, проскользив по горизонтальной поверхности расстояние L, останавливается. Коэффициент трения на наклонной плоскости и горизонтальной поверхности одинаков и равен 0.25. Во сколько раз увеличится L , если коэффициент трения уменьшить до 0.2?

Answer 1

Для начала выведем формулу зависимости L от коэффициента трения μ.
На высоте Н тело имеет потенциальную энергию Еп=mgH и тратит ее на работу против силы трения.
Eп=А
У нас два участка, но которых сила трения разная. Найдем ее на каждом участке, вычислим работу и сложим работы на каждом участке.
А=А₁+А₂.
Сила тяжести Fт=mg
Сила реакции опоры на втором (горизонтальном) участке N₂=Fт.
Сила трения Fтр₂=μN₂
А₂=Fтр₂*L=μmgL
С первым участком сложнее.
Сила реакции опоры N₁= Fт*cos45, сила трения Fтр₁=μN₁
Путь, который проходит тело по наклонной плоскости s=H/sin45
A₁=Fтр₁*s=μmgcos45*H/sin45=μmgHctg45
Собираем все вместе в одну формулу
mgH=μmgHctg45+μmgL
H=μHctg45+μL
L=H/μ - Hctg45
ctg45=1
L=H/μ - H
При μ₁=0,25 будет расстояние L₁
При μ₂=0,2 расстояние L₂
$\frac{L_2}{L_1}= \frac{ \frac{H}{\mu_2} -H}{ \frac{H}{\mu_1} - H} = \frac{ \frac{1}{\mu_2} -1}{ \frac{1}{\mu_1} - 1} = \frac{ \frac{1}{0,2} -1}{ \frac{1}{0,25} - 1} = \frac{ 5 -1}{ 4 - 1} = \frac{4}{3} =1 \frac{1}{3}$

Answer 2

Для решения этой задачи используем законы сохранения энергии. При движении тела по наклонной плоскости высота тела изменяется, а его полная механическая энергия остается постоянной, так как отсутствует непосредственное воздействие внешних сил.

Давайте обозначим массу тела через "m", высоту "Н", расстояние по наклонной плоскости "L", начальную скорость "v" на верхней точке наклонной плоскости (когда тело только начинает движение) и конечную скорость "u" после проскальзывания по горизонтальной поверхности.

Из закона сохранения энергии:

1/2 * m * v^2 = m * g * H + 1/2 * m * u^2

где g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.81 м/с^2).

Мы знаем, что высота H = L * sin(45°) = L / √2.

Также, учитывая, что коэффициент трения μ не влияет на полную механическую энергию, можно установить связь между начальной и конечной скоростью через работу силы трения:

работа_трения = изменение_кинетической_энергии μ * m * g * H = 1/2 * m * u^2 - 1/2 * m * v^2 μ * g * H = 1/2 * u^2 - 1/2 * v^2 μ * g * L / √2 = 1/2 * u^2 - 1/2 * v^2

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (u и v). Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения начальной и конечной скоростей.

Теперь рассмотрим случай с уменьшенным коэффициентом трения μ = 0.2. Обозначим новую конечную скорость как "u2". Мы знаем, что высота H2 = L2 / √2. Также, по-прежнему можем использовать закон сохранения энергии, чтобы найти связь между начальной и конечной скоростями:

μ2 * g * H2 = 1/2 * u2^2 - 1/2 * v^2

Теперь давайте найдем отношение L2 / L:

μ * g * L / √2 = μ2 * g * L2 / √2

Теперь мы можем сократить g и √2:

μ * L = μ2 * L2

Теперь решим это уравнение относительно L2:

L2 = (μ * L) / μ2

Подставим значения коэффициентов трения:

L2 = (0.25 * L) / 0.2

L2 = 1.25 * L

Таким образом, расстояние L увеличится примерно в 1.25 раза при уменьшении коэффициента трения с 0.25 до 0.2.