Question

Мячик бросают горизонтально с балкона с такой скоростью, что радиус кривизны начального участка траектории вдвое больше высоты точки старта. Во сколько раз возрастает радиус кривизны траектории за время полёта? ПОЛНЫЙ ОТВЕТ С РЕШЕНИЕМ. СРОЧНО!!!

Answer 1

В начальный момент времени скорость направлена вдоль оси x (пусть равна V), ускорение направлено вдоль оси Y, т.е. перпендикулярно скорости. То есть в все ускорение являлось нормальным ускорением:
g = V^2 / R1
R1 = V^2 / g
По условию задачи: R1 = 2H
Тогда V = sqr(R1 g) = sqr(2gH)
Вдоль оси Х не действуют силы, поэтому проекция скорости на ось Х не будет меняться.

Найдем проекцию скорости на ось У в конце пути.
Высота мячика в зависимости от времени:
Y(t) = H - (g/2) t^2
(в момент времени t=0 высота была Y(0) = H)
Найдем время to, при котором мячик упал (Y стал равен нулю):
Y(to) = 0
H - (g/2)to^2 = 0
to = sqr(2H/g)
Найдем скорость в этот момент:
Vy(t) = - gt
Vy(to) = - g sqr(2H/g) = - sqr(2gH) = -V

Т.е. в момент падения:
Vx = V
Vy = -V
значит модуль скорости равен sqr(2)V, а направлена скорость под 45 градусов к горизонту.
Тогда ось, перпендикулярная скорости, направлена под 45 градусов к горизонту.
Тогда модуль проекции ускорения на эту ось sqr(2)g - модуль нормального ускорения. Тогда:
sqr(2)g = ( sqr(2)V )^2 / R2 = 2 V^2 / R2
R2 = sqr(2) (V^2 / g)
R1 = V^2 / g
Радиус кривизны стал в sqr(2) раз больше за время полета.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законами физики, связанными с движением тела под действием силы тяжести. Пусть начальная скорость горизонтального броска мячика равна V₀, а высота точки старта над землей равна h.

Так как мячик брошен горизонтально, вертикальная составляющая его скорости равна нулю на всей траектории, а только действует ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с². Поэтому у нас есть следующие уравнения движения:

1. Вертикальная составляющая движения: h = (1/2) * g * t²,

2. Горизонтальная составляющая движения: x = V₀ * t,

где t - время полета, x - дальность полета мячика.

Также, радиус кривизны траектории (R) связан с углом наклона траектории к горизонту (θ) следующим образом:

R = V² / g * sin(2θ),

где V - модуль скорости мячика, равный V₀.

Для горизонтального броска угол наклона траектории равен 45°, поскольку это угол, при котором дальность полета максимальна.

Теперь найдем связь между радиусом кривизны и высотой точки старта. Для начала выразим скорость V₀ через радиус кривизны R и угол наклона траектории θ:

V₀ = √(R * g / sin(2θ)).

Теперь воспользуемся условием задачи: радиус кривизны начального участка траектории (R₀) вдвое больше высоты точки старта (h):

R₀ = 2 * h.

Теперь мы можем выразить R₀ через V₀:

R₀ = V₀² / g * sin(2θ).

Теперь подставим выражение для V₀ и найдем связь между R₀ и h:

V₀² / g * sin(2θ) = 2 * h.

Теперь найдем модуль скорости V₀:

V₀ = √(2 * g * h / sin(2θ)).

Наконец, найдем радиус кривизны траектории во время полета мячика. Для этого воспользуемся формулой для R:

R = V₀² / g * sin(2θ).

Подставим выражение для V₀:

R = (2 * g * h / sin(2θ)) / g * sin(2θ).

Сократим g и sin(2θ):

R = 2 * h.

Таким образом, радиус кривизны траектории не меняется во время полета мячика и остается постоянным и равным удвоенной высоте точки старта. Ответ: радиус кривизны траектории не возрастает за время полета.