Question

С помощью линзы получили мнимое уменьшенное в 2 раза по сравнению с предметом изображение, когда предмет располагался на расстоянии 4 см от линзы. Чему равно фокусное расстояние линзы в сантиметрах? С подробным решением. Помогите пожалуйста!

Answer 1

Фокусное расстояние равно 4 см, т.к. изображение мнимое и уменьшенное, значит линза рассеивающая, а если изображение меньше в 2 раза предмета у рассеивающей линзы, то предмет находится в фокусе, что подтверждает рисунок

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},$

где $f$ - фокусное расстояние линзы, $d_o$ - расстояние от предмета до линзы, $d_i$ - расстояние от изображения до линзы.

Из условия задачи у нас есть две информации:

1. Мнимое уменьшенное в 2 раза изображение, что означает, что $h_i = \frac{h_o}{2}$, где $h_i$ - высота изображения, $h_o$ - высота предмета. Обратите внимание, что из-за уменьшения, высота изображения будет меньше высоты предмета.

2. Предмет располагался на расстоянии 4 см от линзы, т.е. $d_o = -4$ см, где знак минус указывает на то, что предмет находится слева от линзы (для удобства принято считать, что объекты слева от линзы имеют отрицательное расстояние).

Теперь, чтобы найти фокусное расстояние, сначала найдем расстояние до изображения $d_i$. Для этого воспользуемся подобием треугольников, т.к. изображение получается от обратного, уменьшенным в 2 раза:

$\frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o}.$

Подставляем известные значения:

$\frac{\frac{h_o}{2}}{h_o} = \frac{d_i}{-4}.$

Сокращаем $h_o$ и решаем уравнение относительно $d_i$:

$\frac{1}{2} = \frac{d_i}{-4}.$

Теперь находим $d_i$:

$d_i = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$ см.

Теперь у нас есть значение $d_i$, и мы можем использовать формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}.$

Подставляем значения:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{-4} + \frac{1}{-2}.$

Складываем дроби:

$\frac{1}{f} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}.$

Теперь найдем фокусное расстояние $f$:

$f = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$ см.

Фокусное расстояние линзы составляет $f = -\frac{4}{3}$ см, где отрицательный знак говорит о том, что линза является собирающей (конвергирующей) и фокусирует свет в одной точке справа от нее.