Question

Маятник, состоящий из небольшого тяжелого шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длиной 2м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Когда шарик проходит нижнее положение, нить испытывает натяжение, равное удвоенной силе тяжести шарика. На сколько сантиметров крайнее положение шарика выше нижнего?

Answer 1

Согласно закону сохранения энергии $\frac{mv^{2}}{2}=mg\Delta h$, где Δh - искомая разница верхнего и нижнего положений.

Отсюда находим $v=\sqrt{2g\Delta h}$; Сила натяжения нити складывается из двух сил - центробежной и силы тяжести. Найдем эту силу в крайнем нижнем положении: $T=mg+\frac{mv^{2}}{l}=2mg \Leftrightarrow v=\sqrt{gl}$; Значит $\sqrt{gl}=\sqrt{2g\Delta h} \Leftrightarrow \Delta h = \frac{l}{2}=1$; Ответ: на 1 метр.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся законами сохранения механической энергии в колебательной системе.

Пусть $h$ - искомая высота, на которую поднимется маятник в крайнем положении (то есть, на сколько сантиметров выше нижнего положения).

При прохождении шарика нижнего положения, он имеет только потенциальную энергию в поле тяжести. Когда он достигает крайнего положения, вся его потенциальная энергия превращается в кинетическую (скорость максимальна) и нулевую потенциальную энергию.

Таким образом, изменение потенциальной энергии между нижним и крайним положениями равно изменению кинетической энергии:

$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v^2$

где $m$ - масса шарика, $g$ - ускорение свободного падения, $v$ - скорость шарика в крайнем положении.

Теперь нам нужно найти $v$. Вернемся к условию задачи, где сказано, что нить испытывает натяжение, равное удвоенной силе тяжести шарика в нижнем положении. Таким образом, натяжение нити равно $2 \cdot m \cdot g$.

В крайнем положении нить направлена горизонтально, и шарик движется по окружности радиусом 2 м (длина нити). Тогда в крайнем положении центростремительное ускорение равно $a = \frac{v^2}{r}$, где $r$ - радиус окружности (длина нити).

Подставим полученное значение натяжения и радиуса в выражение для центростремительного ускорения:

$2 \cdot m \cdot g = \frac{v^2}{2}$

Отсюда находим скорость $v$:

$v = \sqrt{4 \cdot g \cdot h}$

Теперь подставим $v$ обратно в уравнение для изменения потенциальной энергии:

$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot (4 \cdot g \cdot h)$

Упростим:

$h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h$

$h = 2h$

$h = \frac{h}{2}$

Таким образом, крайнее положение шарика на 1/2 сантиметра выше нижнего положения.