Question

Период пружинного маятника T=2с, амплитуда A=2см. Найдите среднюю скорость (см/с) маятника за промежуток времени, в течение которого он сместился на расстояние 1,73 см от положения равновесия. с формулами пж

Answer 1

Дано в условии:

T = 2 c;

A = 2 см;

x = 1,73 см.

<V> - ?

Гармонический закон движения, с учётом того, что мы движемся с положения равновесия (т. е. при t = 0, мы должны получить x = 0): $x = Asin(wt).$ (1)

Также полезно будет вспомнить про циклическую частоту: $w = \frac{2\pi}{T}.$ (2)

Вычислим циклическую частоту из формулы (2):

$w = \frac{2\pi}{2} = \pi.$

Найдём время, за которое маятник сместится в положение x, используя формулу (1). Обойдёмся без арксинусов, подставив в калькулятор $1.73 = 2sin(\pi x)$ получим (много значений получим, но нас интересует первое прохождение данного положения, тогда полученное время не должно быть больше четверти периода, т. е. t < 0,5 с), t = 0,33 с.

Здесь стоит отметить следующее: период - время, за которое маятник проходит целый цикл, так сказать и "туда" и "назад", значит в одну сторону - полупериод, а так как мы начинаем с положения равновесия, то речь идёт уже о четверти периода.

Средняя скорость - результат деления всего пути на всё время, то есть получаем:

$= \dfrac{x}{t} = \dfrac{1,73}{0,33} = 5,24$ (см/с).

Ответ: 5,24 см/с.

Answer 2

Для нахождения средней скорости маятника за промежуток времени, воспользуемся формулой для периодического движения пружинного маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

где: $T$ - период колебаний маятника (в данном случае $T = 2$ секунды), $L$ - длина нити маятника, $g$ - ускорение свободного падения (примем $g = 9.81 \, \text{м/с}^2$, но можно использовать более точное значение, если необходимо).

Мы можем найти длину $L$ нити маятника, используя амплитуду $A$ и расстояние $d$ от положения равновесия:

$L = \frac{g}{4\pi^2} \left(\frac{A^2}{d^2}\right)$

Теперь подставим известные значения:

$L = \frac{9.81 \, \text{м/с}^2}{4\pi^2} \left(\frac{(2 \, \text{см})^2}{(1.73 \, \text{см})^2}\right)$

$L \approx 0.3652 \, \text{м}$

Теперь, чтобы найти среднюю скорость $\overline{v}$ за промежуток времени $\Delta t$, в течение которого маятник сместился на расстояние $d$, воспользуемся следующей формулой:

$\overline{v} = \frac{d}{\Delta t}$

Среднюю скорость $\overline{v}$ можно выразить через амплитуду и период маятника следующим образом:

$\overline{v} = \frac{2\pi A}{T}$

Теперь подставим известные значения:

$\overline{v} = \frac{2\pi \cdot 2 \, \text{см}}{2 \, \text{с}}$

$\overline{v} \approx 6.28 \, \text{см/с}$

Таким образом, средняя скорость маятника за промежуток времени, в течение которого он сместился на расстояние 1,73 см от положения равновесия, составляет примерно 6,28 см/с.