Question

В вершинах квадрата со стороной а расположены заряды q, 2q, -4q, 3q. Найдите потенциальную энергию W этой системы зарядов.

Answer 1

Если заряды расположены как на картинке, то согласно принципу суперпозиции:

$W = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \left( \frac{2q^2}{a} - \frac{4q^2}{a\sqrt{2}} + \frac{3q^2}{a} - \frac{8q^2}{a} + \frac{6q^2}{a\sqrt{2}} -\frac{12q^2}{a} \right) = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \left ( \frac{2q^2}{a\sqrt{2}}-\frac{15q^2}{a} \right ) = \frac{q^2 (15-\sqrt{2})}{4 \pi \epsilon_0 a}$

Answer 2

Для нахождения потенциальной энергии W системы зарядов в вершинах квадрата, можно воспользоваться формулой для потенциальной энергии взаимодействия между зарядами. Для пары зарядов q₁ и q₂ она выражается как:

$U = \frac{k \cdot |q₁ \cdot q₂|}{r},$

где k - постоянная Кулона (k ≈ 8.99 * 10^9 Н м²/C²), q₁ и q₂ - значения зарядов, а r - расстояние между зарядами.

Теперь найдем потенциальную энергию для каждой пары зарядов в системе:

1. Заряды q и 2q:

Расстояние между ними можно определить как длину стороны квадрата a. Таким образом, потенциальная энергия между ними:

$U₁ = \frac{k \cdot |q \cdot 2q|}{a} = \frac{2kq²}{a}.$

2. Заряды q и -4q:

Расстояние между ними также равно длине стороны квадрата a. Потенциальная энергия между ними будет:

$U₂ = \frac{k \cdot |q \cdot (-4q)|}{a} = \frac{4kq²}{a}.$

3. Заряды q и 3q:

Расстояние между ними можно определить как диагональ квадрата, что равно $a\sqrt{2}$. Таким образом, потенциальная энергия между ними:

$U₃ = \frac{k \cdot |q \cdot 3q|}{a\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}kq²}{a}.$

Теперь суммируем все потенциальные энергии:

$W = U₁ + U₂ + U₃ = \frac{2kq²}{a} + \frac{4kq²}{a} + \frac{3\sqrt{2}kq²}{a} = \frac{(2 + 4 + 3\sqrt{2})kq²}{a}.$

Таким образом, потенциальная энергия системы зарядов в вершинах квадрата равна $\frac{(2 + 4 + 3\sqrt{2})kq²}{a}$.