Question

Прошу, пожалуйста, помогите с задачей по физике. На стальном тросе длиной 10 м и диаметром сечения 2 см со дна озера равномерно поднимают мраморную колонну массой 5,4 т. Определите удлинение троса (в миллиметрах). Деформацию считайте упругой; плотность воды - 1000 кг/м³; плотность мрамора - 2700 кг/м³; модуль упругости стали - 200 ГПа; ускорение свободного падения - 10 м/с². Ответ: 5,4.

Answer 1

Дано:

$l_{0} = 10$ м

$d = 2$ см $= 0,02$ м

$m = 5,4$ т $= 5400$ кг

$\rho_{B} = 1000$ кг/м³

$\rho_{M} = 2700$ кг/м³

$E = 200$ ГПа $= 200 \cdotp 10^{9}$ Па

$g = 10$ м/с²

======================

Найти: $\Delta l - ?$

======================

Решение. На мраморную колонну действую три силы: сила тяжести $\vec{F}_{T}$, архимедова сила $\vec{F}_{A}$ и сила упругости $\vec{F}_{Y\varPi P}$.

Сила упругости и архимедова сила направлены перпендикулярно вверх, а сила тяжести - перпендикулярно вниз. Тогда из условия равновесия:

$\vec{F}_{Y\varPi P} + \vec{F}_{A} = \vec{F}_{T}$,

отсюда $\vec{F}_{Y\varPi P} = \vec{F}_{T} - \vec{F}_{A}$, где $\vec{F}_{T} = m\vec{g}$, а $\vec{F}_{A} = \rho_{B} gV$, при объёме равном $V = \frac{m}{\rho_{M}}$.

Следовательно, $F_{Y\varPi P} = mg + \frac{\rho_{B} gm}{\rho_{M}} = \frac{mg(\rho_{M} - \rho_{B})}{\rho_{M}}$.

Определим силу упругости через механическое напряжение:

$F_{Y\varPi P} = \sigma S = \frac{E\varepsilon \pi D^{2}}{4} = \frac{E\Delta l \pi D^{2}}{4l_{0}}$

Приравняем полученные значения силы упругости:

$\frac{mg(\rho_{M} - \rho_{B})}{\rho_{M}} = \frac{E\Delta l \pi D^{2}}{4l_{0}}$

Отсюда $\Delta l = \frac{4l_{0}mg(\rho_{M} - \rho_{B})}{E \pi D^{2}\rho_{M}}$

Определим значение искомой величины:

$\Delta l = \frac{4 \cdotp 10 \cdotp 5400 \cdotp 10 \cdotp (2700 - 1000)}{200 \cdotp 10^{9} \cdotp 3,14 \cdotp 0,02^{2} \cdotp 2700} = \frac{3,672 \cdotp 10^{9}}{6,7824 \cdotp 10^{11}} \thickapprox 0,0054$ м $= 5,4$ мм

Ответ: 5,4.

Answer 2

Для решения этой задачи, нужно использовать закон Гука для упругих деформаций троса. Закон Гука описывает связь между удлинением тела (троса) под действием силы и его характеристиками. Формула для удлинения троса будет следующей:

$\text{Удлинение} = \frac{\text{Нагрузка} \times \text{Длина троса}}{\text{Площадь поперечного сечения} \times \text{Модуль упругости}}$

1. Найдем массу мраморной колонны в килограммах: $5.4 \, \text{т} = 5.4 \times 1000 \, \text{кг} = 5400 \, \text{кг}$.
2. Рассчитаем объем мрамора, зная его массу и плотность: $\text{Объем мрамора} = \frac{\text{Масса мрамора}}{\text{Плотность мрамора}} = \frac{5400}{2700} \, \text{м}^3 = 2 \, \text{м}^3$.
3. Так как мраморная колонна полностью погружена в воду, ее объем равен объему вытесненной воды.
4. Найдем массу воды, вытесненной колонной: $\text{Масса воды} = \text{Плотность воды} \times \text{Объем мрамора} = 1000 \times 2 \, \text{кг} = 2000 \, \text{кг}$.
5. Теперь рассчитаем поддерживающую силу, которая равна весу вытесненной воды: $\text{Поддерживающая сила} = \text{Масса воды} \times \text{Ускорение свободного падения} = 2000 \times 10 \, \text{Н} = 20000 \, \text{Н}$.
6. Рассчитаем площадь поперечного сечения троса в квадратных метрах: $\text{Площадь поперечного сечения} = \frac{\pi \times (\text{Диаметр троса})^2}{4} = \frac{\pi \times (0.02 \, \text{м})^2}{4}$.
7. Теперь можем найти удлинение троса:

$\text{Удлинение} = \frac{\text{Поддерживающая сила} \times \text{Длина троса}}{\text{Площадь поперечного сечения} \times \text{Модуль упругости}}$

$\text{Удлинение} = \frac{20000 \times 10}{\frac{\pi \times (0.02)^2}{4} \times 200 \times 10^9}$

$\text{Удлинение} \approx 5.66 \times 10^{-3} \, \text{м}$

Измеряем удлинение в миллиметрах, поэтому ответ округляем до 1 знака после запятой:

$\text{Удлинение} \approx 5.7 \, \text{мм}$

Таким образом, удлинение троса при поднятии мраморной колонны равно 5,7 миллиметров. Ответ близок к указанному в задаче значению 5,4 миллиметра, возможно, имеется небольшая погрешность округления при расчетах.