Question

Частица массой m движется под действием F=F0coswt, где F0 и w - некоторые постоянные величины. Определить положение частицы, т.е выразить ее радиус вектор r как функцию времени, если в начальный момент времени t=0, r(0)=0 и v(0)=0

Answer 1

Решение смотрите на фотографии.

Answer 2

Для определения положения частицы в зависимости от времени, нужно решить уравнение движения. Начнем с уравнения второго закона Ньютона:

F = ma

где F - сила, m - масса частицы, а - её ускорение. В нашем случае, сила F = F0 * cos(wt), поэтому:

ma = F0 * cos(wt)

Так как ускорение - это вторая производная радиус-вектора r по времени (a = d^2r/dt^2), то у нас есть следующее уравнение:

m(d^2r/dt^2) = F0 * cos(wt)

Теперь проинтегрируем это уравнение дважды относительно времени t.

Интегрируем первый раз по t:

m(dv/dt) = F0 * cos(wt)

где v = dr/dt - скорость частицы. Интегрируем второй раз:

mv = F0/w * sin(wt) + C1

где C1 - постоянная интегрирования. Теперь найдем C1, используя начальное условие v(0) = 0:

m * 0 = F0/w * sin(w * 0) + C1

C1 = 0

Таким образом, получаем выражение для скорости v:

mv = F0/w * sin(wt)

Теперь проинтегрируем выражение для скорости, чтобы получить радиус-вектор r.

Интегрируем по t:

∫(mv) dt = ∫(F0/w * sin(wt)) dt

где интегрирование проводится от t=0 до t.

mv^2/2 = -F0/(w^2) * cos(wt) + C2

где C2 - еще одна постоянная интегрирования. Теперь найдем C2, используя начальное условие r(0) = 0:

m * 0^2/2 = -F0/(w^2) * cos(w * 0) + C2

C2 = F0/(w^2)

Таким образом, получаем выражение для радиус-вектора r:

r = (F0/(w^2)) - (F0/(w^2)) * cos(wt)

Таким образом, положение частицы в зависимости от времени будет задаваться выражением:

r(t) = (F0/(w^2)) * (1 - cos(wt))