Question

Определите угол (с точностью до сотых), под которым должна прыгнуть австралийская лягушка со скоростью 6,54 м/с (g=9,81 м/с2), чтобы запрыгнуть на бревно. Скорость движения бревна 2 м/с, а расстояние между бревном и точкой прыжка – 2 (м).

Answer 1

Пусть расстояние l у нас зависит от времени по следующему закону
$l(t)=2+2t$
Тогда, чтобы пройти это расстояние с горизонтальной скоростью лягушки, потребуется следующее кол-во времени
$t=(2+2t)/Vcos \alpha \\ tVcos \alpha =2+2t\\ t(Vcos \alpha -2)=2\\ t=2/(Vcos \alpha -2)$
А значит расстояние пройденное за это время лягушкой, прыгающей под углом α к горизонту (использована формула для баллистического движения $l=v^2sin2 \alpha /g$)
$2+2\cdot2/(Vcos \alpha -2)=V^2sin2 \alpha /g$
Умножим обе части на Vcosα-2 (Тогда cosα≠2/6.54=0,3 и α≠72°)
$2(Vcos \alpha -2)+4=V^2sin2 \alpha (Vcos \alpha -2)/g\\ 2Vgcos \alpha =V^3sin2 \alpha cos \alpha -2V^2sin2 \alpha$
Разделим обе части на Vcosα≠0 (т.к. иначе α=90° и лягушка прыгнула бы ровно вверх, что не имеет смысла)
$2g=V^2sin2 \alpha -4Vsin \alpha \\ 6.54^2sin2 \alpha -4\cdot6.54sin \alpha =2\cdot9.81\\ 2.18sin2a-12sin \alpha /9=1\\ \alpha =2\cdot0.46997rad=2\cdot0.46997\cdot180^{\circ}/\pi=53.85^{\circ}$
Ответ: α=53.85°