Question

Кубик из пенопласта массой 100 г лежит на горизонтальной подставке. Ребро кубика 10 см. Снизу кубик пробивает вертикально летящая пуля массой 10 г. Скорость пули при входе в кубик 100 м/с, при вылете 95 м/с. Подпрыгнет ли кубик?

Answer 1

Кубик может подпрыгнуть, если модуль силы F¯, действующей на него со стороны пули, окажется большим модуля силы тяжести Mg=1Н .Найдем эту силу. Для этого рассмотрим пулю. На нее со стороны кубика действует такая же по модулю, но противоположная по направлению сила и сила тяжести mg.

Скорость пули при пролете сквозь кубик меняется незначительно: ее изменение равно 5м/с, что составляет всего 5% от скорости пули при входе в кубик. Поэтому можно считать, что сила F¯ не зависит от скорости пули и постоянна.

Импульс пули при пролете сквозь кубик меняется благодаря действию на пулю двух сил - силы тяжести и силы трения.

Если время, за которое пуля пролетает сквозь кубик, обозначить через τ, то m(v1−v2)=(F+mg)τ. (1)

Время τ найти нетрудно. Так как силы, действующие на кубик, постоянны, то постоянно и ускорение пули, а значит, скорость пули меняется со временем линейно.

Поэтому средняя скорость движения пули в кубике равна

vср=v1+v22

. Следовательно, пуля пролетает сквозь кубик за время τ=hvср=2av1+v2≈10−3с

Подставив это значение τ в формулу (1), найдем:

F=m(v1−v2)−μgττ≈50НF Так как τ мало, то величина mgτ много меньше изменении импульса пули и ею можно пренебречь. Сила F оказалась больше силы тяжести, которая действует на кубик. Поэтому кубик подскочит.

Answer 2

Для определения того, подпрыгнет ли кубик из-за удара пули, нужно рассмотреть законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до столкновения равна сумме импульсов после столкновения, при отсутствии внешних сил.

Импульс пули до удара: $p_{\text{пули, до}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули, до}} = 0.01 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с} = 1 \, \text{кг м/с}$.

Импульс пули после удара: $p_{\text{пули, после}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули, после}} = 0.01 \, \text{кг} \cdot 95 \, \text{м/с} = 0.95 \, \text{кг м/с}$.

Импульс системы до удара: $p_{\text{системы, до}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули, до}} + m_{\text{кубика}} \cdot v_{\text{кубика, до}} = 0.01 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с} + 0.1 \, \text{кг} \cdot 0 \, \text{м/с} = 1 \, \text{кг м/с}$.

Импульс системы после удара: $p_{\text{системы, после}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули, после}} + m_{\text{кубика}} \cdot v_{\text{кубика, после}}$.

Так как в начальный момент кубик покоился на подставке ($v_{\text{кубика, до}} = 0$), то его импульс после удара также будет равен 0 ($v_{\text{кубика, после}} = 0$). Следовательно, $p_{\text{системы, после}} = 0.95 \, \text{кг м/с}$.

Закон сохранения импульса гласит, что $p_{\text{системы, до}} = p_{\text{системы, после}}$.

Таким образом, $1 \, \text{кг м/с} = 0.95 \, \text{кг м/с}$.

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. Кинетическая энергия системы до удара равна сумме кинетических энергий пули и кубика: $E_{\text{системы, до}} = \frac{1}{2} m_{\text{пули}} \cdot (v_{\text{пули, до}})^2 + \frac{1}{2} m_{\text{кубика}} \cdot (v_{\text{кубика, до}})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \, \text{кг} \cdot (100 \, \text{м/с})^2 + \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{кг} \cdot (0 \, \text{м/с})^2 = 50 \, \text{Дж}$.

Кинетическая энергия системы после удара равна сумме кинетических энергий пули и кубика: $E_{\text{системы, после}} = \frac{1}{2} m_{\text{пули}} \cdot (v_{\text{пули, после}})^2 + \frac{1}{2} m_{\text{кубика}} \cdot (v_{\text{кубика, после}})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \, \text{кг} \cdot (95 \, \text{м/с})^2 + \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{кг} \cdot (0 \, \text{м/с})^2 = 45.125 \, \text{Дж}$.

Закон сохранения энергии гласит, что $E_{\text{системы, до}} = E_{\text{системы, после}}$