Question

Закон движения частицы имеет вид: x= 2t см. y= 0 см. z= (2t^2+8t) см. Определить завимиость скорости и ускорения частицы от времени. Найти скорость и ускорение частицы в момент времени t1=2 с.

Answer 1

1)

Скорость - первая производная от координаты:

vx = x' = 2 см/с

vy = y' = 0

vz = z' = 4*t+8 = 4*(t+2)

V(t) = √ ( vx²+vy²+vz²) = √ (2²+0²+16·(t+2)²)

V(2) = √ ( 4+0+16·(2+2)²) ≈ √ (260) ≈ 16 см/с

2)

Ускорение - первая производная от скорости:

ax = (vx)'=0

ay = (vy)' = 0

az = (vz)'=4

a(t) = 4 см/с²

а(2) = 4 см/с²

Answer 2

$\vec x(t) = (2t;0;2t^2+8t);\\\vec v(t) = \frac {d\vec x(t)}{dt} = (\frac {d(2t)}{dt};\frac {d(0)}{dt};\frac {d(2t^2+8t)}{dt}) =\\= (2;0;4t+8);\\\vec a(t) = \frac {d\vec v(t)}{dt} = (\frac {d(2)}{dt};\frac {d(0)}{dt};\frac {d(4t+8)}{dt}) = \\= (0;0;4);\\\\\vec v(t_1) = (2;0;4t_1+8) = (2;0;16);\\\vec a(t_1) = (0;0;4);$

Answer 3

Для определения зависимости скорости и ускорения частицы от времени, нужно найти производные по времени от её координат x, y и z.

Дано: x = 2t (см) y = 0 (см) z = 2t^2 + 8t (см)

1. Скорость частицы - это производная по времени от её координат: v = (dx/dt) * i + (dy/dt) * j + (dz/dt) * k

где i, j и k - единичные векторы по осям x, y и z соответственно.

Найдём производные от x, y и z по времени: dx/dt = d(2t)/dt = 2 (см/с) (производная t по времени равна 1) dy/dt = d(0)/dt = 0 (постоянная, так как y не зависит от времени) dz/dt = d(2t^2 + 8t)/dt = 4t + 8 (см/с)

Таким образом, скорость частицы v будет равна: v = 2 * i + 0 * j + (4t + 8) * k v = 2i + (4t + 8)k (см/с)

2. Ускорение частицы - это производная по времени от скорости: a = (dv/dt) * i + (dv/dt) * j + (dv/dt) * k

Найдём производные скорости по времени: dv/dt = d(2)/dt * i + d(4t + 8)/dt * k dv/dt = 0 * i + 4 * k (см/с^2)

Таким образом, ускорение частицы a будет равно: a = 0 * i + 4 * k a = 4k (см/с^2)

3. Найдем скорость и ускорение частицы в момент времени t1 = 2 с.

Для этого подставим t = 2 в выражения для скорости и ускорения:

Скорость в момент времени t1: v = 2i + (4t + 8)k v1 = 2i + (4 * 2 + 8)k v1 = 2i + 16k (см/с) (скорость в момент времени t1)

Ускорение в момент времени t1: a = 0 * i + 4k a1 = 0 * i + 4k a1 = 4k (см/с^2) (ускорение в момент времени t1)

Таким образом, скорость частицы в момент времени t1 = 2 с составляет 2 см/с вдоль оси x и 16 см/с вдоль оси z. Ускорение частицы в тот же момент времени равно 4 см/с^2 вдоль оси z.