Question

Чему равны скорость и полное ускорение точки в момент времени 2 с, движущейся по окружности радиусом 1 м? Уравнение движения точки имеет вид S=Аt+Вt^3, где A=8 м/c ; B=-1 м/c^3 .

Answer 1

Скорость будет направлена по касательной к окружности со значением: v = A + 3Bt^2 (первая производная уравнения S по времени) или 8 - 3*2*2 = -4 м/с

Полное ускорение будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами

a = v^2/r = 4*4 = 16 м/с2 (центростремительное)

b =  dv/dt = 6Bt = -12 м/c2 (вдоль окружности)

с = корень(16*16 + 12*12) = 20 м/с2 (полное)

Answer 2

Для определения скорости и полного ускорения точки в момент времени 2 с на окружности радиусом 1 м, будем использовать следующие формулы.

1. Скорость точки на окружности: Скорость точки на окружности в любой момент времени равна произведению радиуса окружности на угловую скорость.

Формула для угловой скорости (ω): ω = dθ/dt,

где dθ/dt - производная угла (θ) от времени (t).

Так как уравнение движения точки дано в виде S = At + Bt^3, где S - путь (в данном случае длина дуги окружности), тогда производная S по времени даст нам скорость (v) точки:

v = dS/dt.

2. Полное ускорение точки: Полное ускорение точки на окружности состоит из двух компонентов: радиального ускорения (ускорение, направленное к центру окружности) и тангенциального ускорения (ускорение, направленное вдоль окружности). Полное ускорение (a) может быть определено следующим образом:

a = √(ar^2 + at^2),

где ar - радиальное ускорение и at - тангенциальное ускорение.

Так как у нас есть уравнение движения точки, мы можем определить ускорение, вычислив вторую производную S по времени:

a = d^2S/dt^2.

Теперь, приступим к вычислениям:

1. Скорость (v): v = dS/dt, = d/dt (At + Bt^3), = A + 3Bt^2.

Теперь подставим значения A и B: A = 8 м/c, B = -1 м/c^3.

Таким образом, в момент времени t = 2 с:

v = 8 + 3(-1)(2)^2, v = 8 + 3(-1)(4), v = 8 - 12, v = -4 м/c.

2. Полное ускорение (a): a = d^2S/dt^2, = d/dt (A + 3Bt^2), = 6Bt.

Подставим значения B и t = 2 с:

B = -1 м/c^3, t = 2 с.

a = 6(-1)(2), a = -12 м/c^2.

Теперь определим радиальное ускорение (ar) и тангенциальное ускорение (at):

Радиальное ускорение (ar) направлено к центру окружности и равно значению полного ускорения (a) в данной задаче:

ar = -12 м/c^2.

Тангенциальное ускорение (at) равно нулю для точек, движущихся с постоянной скоростью по окружности. Это происходит потому, что угловая скорость (ω) не меняется, и, следовательно, нет изменения тангенциальной скорости.

Таким образом, в момент времени t = 2 с: Скорость точки (v) равна -4 м/c. Полное ускорение точки (a) равно -12 м/c^2. Радиальное ускорение (ar) равно -12 м/c^2. Тангенциальное ускорение (at) равно 0 м/c^2.