Question

При падении тела с большой высоты в воздухе через некоторый промежуток времени его скорость становится постоянной. Учитывая, что сила лобового сопротивления прямо пропорциональна площади поперечного сечения тела и квадрату его скорости, определите отношение установившихся скоростей VR/Vr двух шаров радиусами R и r. Шары изготовлены из одного и того же материала.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для установившейся скорости m*g=k*S*V^2=k*pi*R^2*V^2

VR=sqrt(m*g/pi*R^2)   Vr=sqrt(m*g/pi*r^2)   VR/Vr=r/R

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом движения тела под действием силы сопротивления и законом сохранения энергии.

Закон движения тела под действием силы сопротивления можно записать следующим образом:

F = k * A * v^2,

где F - сила сопротивления, k - коэффициент пропорциональности, A - площадь поперечного сечения тела, v - скорость тела.

Закон сохранения энергии можно записать следующим образом:

m * g * h = (1/2) * m * v^2,

где m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота падения тела.

Массу тела (m) и ускорение свободного падения (g) можно сократить из обеих сторон уравнения.

Рассмотрим два шара с радиусами R и r и площадями поперечного сечения A1 и A2 соответственно.

Так как шары изготовлены из одного и того же материала, то коэффициент пропорциональности k будет одинаковым для них.

Рассмотрим падение шаров с одинаковой высоты h.

Для большого шара с радиусом R:

(1/2) * vR^2 = g * h + k * A1 * vR^2.

Для маленького шара с радиусом r:

(1/2) * vr^2 = g * h + k * A2 * vr^2.

Разделим оба уравнения:

((1/2) * vR^2) / ((1/2) * vr^2) = (g * h + k * A1 * vR^2) / (g * h + k * A2 * vr^2).

Упростим:

vR^2 / vr^2 = (g * h + k * A1 * vR^2) / (g * h + k * A2 * vr^2).

Перенесем все члены с vR^2 и vr^2 в левую часть уравнения:

(vR^2 / (g * h + k * A1 * vR^2)) - (vr^2 / (g * h + k * A2 * vr^2)) = 0.

После упрощения получаем:

(vR^2 * A2 * vr^2) - (vr^2 * A1 * vR^2) = 0.

vR^2 * A2 * vr^2 = vr^2 * A1 * vR^2.

Сократим vr^2 и vR^2:

A2 = A1.

Таким образом, отношение установившихся скоростей VR/Vr двух шаров радиусами R и r будет равно 1, если шары имеют одинаковые площади поперечного сечения.