Question

Под воздействием свободного электрического поля свободный диполь начинает колебаться. Получите дифференциальное уравнение и формулу периода колебаний, если известны: напряжённость E электрического поля, электрический момент p и момент инерции J диполя. Считать угол отклонения диполя от положения устойчивого равновесия малым (sin a = a).

Answer 1

Ответ: d²α/dt²+p*E*α/J=0, T=2*π*√[J/(p*E)].

Объяснение:

Со стороны электрического поля на диполь действует момент сил M=-p*E*sin(α). По основному уравнению динамики вращательного движения, M=J*d²α/dt², где t - время. Отсюда J*d²α/dt²-M=0, или J*d²α/dt²+p*E*sin(α)=0. Но так как по условию угол α мал, то sin(α)≈α, и тогда это уравнение принимает вид J*d²α/dt²+p*E*α=0. Разделив его на J, получаем искомое уравнение: d²α/dt²+p*E*α/J=0. Для его решения составляем характеристическое уравнение: k²+p*E/J=0. Оно имеет решения k1=i*√(p*E/J) и k2=-i*√(p*E/J), где i=√-1. Тогда α(t)=A*cos[t*√(p*E/J)]+B*sin[t*√(p*E/J)]=C*sin[t*√(p*E/J)+β]=C*sin(ω*t+β), где угловая частота ω=2*π/T=√(p*E/J). Отсюда период колебаний T=2*π/ω=2*π*√[J/(p*E)].  

Answer 2

Для анализа колебаний свободного диполя под воздействием электрического поля, рассмотрим уравнение движения диполя. Пусть угол отклонения диполя от положения устойчивого равновесия обозначается как θ (также называемый α).

Момент силы, действующий на диполь в электрическом поле, равен произведению электрического момента p на напряжённость поля E и синусу угла отклонения диполя:

Момент силы = p * E * sin(θ)

Также, момент инерции J диполя связан с угловым ускорением α (α = d²θ/dt²) следующим образом:

Момент инерции * Угловое ускорение = J * α

Следовательно, уравнение движения диполя можно записать в виде:

J * α = p * E * sin(θ)

Дифференцируем это уравнение по времени дважды, чтобы получить уравнение для углового ускорения:

J * d²θ/dt² = p * E * sin(θ)

Теперь давайте рассмотрим уравнение для малых колебаний. При малых значениях угла sin(θ) можно приближенно заменить самим углом θ. Тогда уравнение становится:

J * d²θ/dt² = p * E * θ

Теперь давайте решим это дифференциальное уравнение для угла отклонения θ. Предположим, что решение имеет вид θ(t) = A * cos(ωt), где A - амплитуда колебаний, а ω - угловая частота.

Тогда, подставляя это предположение в дифференциальное уравнение, получим:

J * (-A * ω²) * cos(ωt) = p * E * A * cos(ωt)

Сокращаем на A * cos(ωt):

J * (-ω²) = p * E

Теперь выражаем ω:

ω = √(p * E / J)

Таким образом, получили формулу для периода колебаний (T = 2π/ω):

T = 2π * √(J / (p * E))

Эта формула позволяет определить период колебаний свободного диполя под воздействием электрического поля при заданных значениях электрического момента p, напряжённости E электрического поля и момента инерции J диполя.