Question

Проводник, имеющий форму незамкнутого кольца радиусом R, находится в однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном плоскости xy. Из начала координат перемещают поступательно без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением a. Найдите ЭДС индукции в образовавшемся контуре y= R/2.

Answer 1

Проводник, имеющий форму параболы y=kx2, находится в однородном магнитном поле B, перпендикулярном плоскости ХY. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением a. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре при значении координаты y=c. Решение: Магнитный поток через замкнутый контур, образованный перемычкой и параболой, Φ=BS, где S - площадь этого контура. Выразим эту площадь как функцию координаты x, а следовательно, и времени t. Так как перемычка движется с постоянным ускорением, то ее координата y(t)=at22. С другой стороны, y=kx2, следовательно, at22=kx2⇒x2=at22k, и для x≥0 получаем, что x=a2kt (*). Площадь замкнутого контура в любой момент времени найдем как удвоенную разность между площадью прямоугольника OAFD и площадью криволинейной трапеции OAF. Итак, S(X)=2(xy−∫0xy(x)dx)=2(k3−∫0xkx2dx)=2(kx3−kx33|0x)=43kx3, где x - мгновенные значение абсциссы точки пересечения перемычки и параболы. Учитывая, что x=a2kt, получаем S(t)=43k(a2kt)3=232ka3/2t3. Магнитный поток в зависимости от времени Φ(t)=232kBa3/2t3. ЭДС индукции в контуре Ei=−Φ′(t)=−(232kBa3/2t3)′=−22kBa3/2t2=−42kBa1/2(at22)=8kBa1/2y=−By8ak. В тот момент времени, когда y=c, модуль ЭДС индукции в контуре |Ei|=Bc8ak.

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон индукции Фарадея. ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения магнитного потока через этот контур.

В данном случае у нас есть незамкнутое кольцо проводника с радиусом R, которое перемещается в однородном магнитном поле с индукцией B. Перемычка, перемещающаяся с ускорением a, создает изменяющийся магнитный поток через контур.

Рассмотрим маленький элемент dS длиной dl на перемычке в момент времени t. Перемычка движется с ускорением a, поэтому dl = (1/2)at^2. Радиус вектор элемента dS равен r = R/2. Угол между вектором dl и радиус-вектором r равен 90 градусам, поскольку магнитное поле перпендикулярно плоскости xy.

Магнитный поток через элемент dS равен dΦ = B * dl * cosθ, где θ - угол между векторами B и dl. В данном случае cosθ = cos90° = 0, поскольку они перпендикулярны.

Таким образом, магнитный поток через элемент dS равен нулю, и вклад в ЭДС индукции от этого элемента равен нулю.

Следовательно, общая ЭДС индукции в контуре равна сумме вкладов от всех элементов на перемычке.

Интегрируя по всей перемычке, получаем:

EMF = ∫(dΦ) = ∫(B * dl * cosθ) = B * ∫(dl * cosθ)

Так как dl = (1/2)at^2, а cosθ = 0, получаем:

EMF = B * ∫((1/2)at^2 * 0) = 0

Таким образом, ЭДС индукции в образовавшемся контуре равна нулю.