Question

Лодка массы m имеет начальную скорость v . Считая, что сила сопротивления равна F = −rv , найдите скорость лодки в функции времени и в функции пройденного пути.

Answer 1

Ответ: v(t)=v*e^(-r*t/m), v(s)=v+s*r/m-r*s(t)/m.

Объяснение:

По второму закону Ньютона, F=m*a*m*dv/dt. Отсюда следует уравнение m*dv/dt=-r*v, которое приводится к виду dv/dt=-r*v/m. Умножив обе части на dt и разделив на v, окончательно получаем dv/v=-r*dt/m. Интегрируя обе части, получаем ln/v/=-r*t/m+ln/C1/, где C1 - произвольная постоянная, не равная нулю. Отсюда v(t)=C1*e^(-r*t/m). Так как по условию v(0)=v, то отсюда следует уравнение v=C1. Тогда окончательно v(t)=v*e^(-r*t/m). Пройденный лодкой путь s=∫v(t)*dt=v*∫e^(-r*t/m)*dt=-v*m/r*∫e^(-r*t/m)*d(-r*t/m)=-v*m/r*e^(-r*t/m)+C2, где C2 - произвольная постоянная. Если положить s(0)=s, то получим уравнение s=-v*m/r+C2, откуда C2=s+v*m/r. Тогда окончательно s(t)=s+v*m/r*[1-e^(-r*t/m)]=s+v*m/r-m*v(t)/r. Отсюда m*v(t)/r=s+v*m/r-s(t) и тогда v(t)=v+s*r/m-r*s(t)/m. Но так как по условию требуется найти v(s), то отсюда v(s)=v+s*r/m-r*s(t)/m.      

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся вторым законом Ньютона: F = ma, где F - сила, m - масса лодки, a - ускорение.

В данном случае сила сопротивления равна F = -rv, где r - коэффициент сопротивления, v - скорость лодки.

Применяя второй закон Ньютона, получаем:

• rv = ma

Разделим это уравнение на m:

• rv/m = a

Теперь у нас есть уравнение, связывающее ускорение a и скорость v.

Также у нас есть начальная скорость v0, поэтому мы можем записать:

v = v0 + at

где v0 - начальная скорость, t - время.

Из уравнения - rv/m = a можно получить:

a = -rv/m

Подставим это в уравнение v = v0 + at:

v = v0 - r(v/m)t

Теперь мы можем найти скорость лодки в функции времени и в функции пройденного пути.

Для функции времени, интегрируем оба выражения по времени:

∫dv = ∫(v0 - r(v/m)t)dt

v = v0t - (r/m)t^2/2 + C

где С - постоянная интегрирования.

Для функции пройденного пути, интегрируем скорость по времени:

∫v dt = ∫(v0 - r(v/m)t)dt

s = v0t - (r/m)t^2/2 + Ct + D

где s - пройденный путь, D - постоянная интегрирования.

Таким образом, скорость лодки в функции времени будет выражаться как v = v0t - (r(v/m)t^2/2 + C, а скорость лодки в функции пройденного пути будет выражаться как s = v0t - (r(v/m)t^2/2 + Ct + D.