Question

Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с от поверхности земли.На каком расстояний от поверхности земли потенциальная энергия камня уменьшится в 9 раз?

Answer 1

Дано:

${\upsilon}_{0} = 15\frac{м}{с}\\y_{0}=0\: м\\K_{2}=\frac{K_{1}}{9}$

Найти: $y_{2}$

Решение:

$K_{1}=\frac{m\times {{\upsilon}_{0}}^{2}}{2}$ - кинетическая энергия в начальный момент времени, в момент броска.

$K_{2}=\frac{m\times {{\upsilon}_{2}}^{2}}{2}$ - кинетическая энергия в тот момент времени, когда она уменьшилась в 9 раз, относительно первой. А ${\upsilon}_{2}$ - скорость тела в этот момент.

По условию $K_{2}=\frac{K_{1}}{9}$, тогда можем найти ${\upsilon}_{2}$:

$K_{2}=\frac{K_{1}}{9}\\ 9 \: \frac{m\times {{\upsilon}_{2}}^{2}}{2}=\frac{m\times {{\upsilon}_{0}}^{2}}{2} \vert : \frac{m}{2} \ne 0 \\ 9 {{\upsilon}_{2}}^{2}={{\upsilon}_{0}}^{2} \vert : 9 \\{{\upsilon}_{2}}^{2}=\frac{{{\upsilon}_{0}}^{2}}{9}\\{\upsilon}_{2} = \frac{{\upsilon}_{1}}{3}=\frac{15\frac{м}{с}}{3}=5\frac{м}{с}$

Мы нашли скорость в тот момент времени, когда кинетическая энергия стала в девять раз меньше. Таким образом, зная эту скорость, начальную скорость и ускорение (которое равно $g$), мы можем найти время, за которое камень долетел до этой точки.

${\upsilon}_{y}={{\upsilon}_{0}}_{y}+{a}_{y}\times t$ - общее уравнение.

${\upsilon}_{2}={\upsilon}_{0}-g\times t\\t=\frac{{\upsilon}_{0}-{\upsilon}_{2}}{g}\\t=\frac{15\frac{м}{с}-5\frac{м}{с}}{10\frac{м}{{с}^{2}}}\\t=1 \: с$

Т.е. камень двигался до этой точки 1 секунду. Напишем уравнение координаты для равноускоренного движения:

$y_{2}={y}_{0}+{{\upsilon}_{0}}_{y}t+\frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}$

Нам нужно найти $y_{2}$, подставим в формулу все найденные значения.

$y_{2}=0+15\frac{м}{с} \times 1 \: с-\frac{10\frac{м}{{с}^{2}}\times{1 \: с}^{2}}{2}=10м$

Ответ: $y_{2}=10 \: м$

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче.

Потенциальная энергия камня на высоте h над поверхностью земли может быть вычислена как:

Потенциальная энергия = масса * ускорение свободного падения * высота

где масса камня не играет роли, так как в задаче нет данных о массе камня, и она сократится.

Поскольку камень движется вертикально, его потенциальная энергия на высоте h равна работе, которую необходимо совершить против силы тяжести, чтобы поднять камень на эту высоту.

Разница в потенциальной энергии между двумя высотами h1 и h2 равна работе, совершенной против силы тяжести:

Работа = Потенциальная энергия на высоте h1 - Потенциальная энергия на высоте h2

Работа = m * g * h1 - m * g * h2

Так как масса m сокращается, работа зависит только от разницы высот h1 и h2:

Работа = g * (h1 - h2)

Мы знаем, что камень был брошен вертикально вверх, то есть его начальная скорость равна 15 м/с.

Когда камень поднимается на максимальную высоту, его скорость будет равна 0 м/с (на вершине траектории). Поэтому, используя уравнение движения:

v^2 = u^2 - 2 * g * h

где v = 0 (скорость на вершине), u = 15 м/с (начальная скорость), g = ускорение свободного падения, h - максимальная высота, которую нужно найти.

0 = (15 м/с)^2 - 2 * g * h

g * h = (15 м/с)^2 / 2

h = (15 м/с)^2 / (2 * g)

Теперь, нам нужно найти высоту, на которой потенциальная энергия уменьшится в 9 раз. Пусть h1 - это начальная высота, а h2 - это высота, на которой потенциальная энергия уменьшится в 9 раз.

Работа = g * (h1 - h2)

Мы хотим, чтобы работа была равна разнице в потенциальной энергии в 9 раз:

g * (h1 - h2) = 9 * g * h2

(h1 - h2) = 9 * h2

h1 = 10 * h2

Теперь, используя значение h, которое мы ранее вычислили:

(15 м/с)^2 / (2 * g) = 10 * h2

h2 = (15 м/с)^2 / (20 * g)

h2 = (225 м^2/с^2) / (20 * 9.8 м/с^2) ≈ 1.15 м

Таким образом, на высоте приблизительно 1.15 метра от поверхности земли потенциальная энергия камня уменьшится в 9 раз.