Question

Тело движется по окружности радиусом R = 2 м, причем модуль скорости меняется по закону v = 2 + 2t (величины заданы в единицах СИ). Найдите модуль ускорения тела через τ = 3 с от начала движения.

Answer 1

Объяснение:

v=2+2*3=8м/с

а=v^2/R

a=64/2=32м/с^2

Answer 2

Для нахождения модуля ускорения тела на окружности можно воспользоваться известным уравнением движения для равномерного кругового движения:

$v = \omega \cdot R,$

где $v$ - модуль скорости тела на окружности, $\omega$ - угловая скорость, $R$ - радиус окружности.

Также, ускорение $a$ тела на окружности связано с угловым ускорением $\alpha$ следующим образом:

$a = \alpha \cdot R.$

Известно, что модуль скорости меняется по закону $v = 2 + 2t$. Для того чтобы найти угловую скорость $\omega$, мы можем проинтегрировать уравнение скорости по времени:

$\int v \, dt = \int (2 + 2t) \, dt.$

$s = 2t + t^2 + C,$

где $s$ - координата по длине дуги окружности, $C$ - постоянная интегрирования.

Так как тело движется по окружности, то длина дуги $s$ связана с углом $\theta$ (измеряемым в радианах) между радиусами и скоростью $v$ следующим образом:

$s = R \cdot \theta.$

При $t = 0$ тело находится в начальной точке, то есть $s = 0$ и $\theta = 0$.

Подставим $s = R \cdot \theta$ в уравнение для $s$:

$R \cdot \theta = 2t + t^2 + C.$

При $t = 0$ получаем:

$0 = 0 + 0 + C \implies C = 0.$

Теперь у нас есть уравнение для $s$ через $\theta$:

$R \cdot \theta = 2t + t^2.$

Теперь можно найти $\theta$ через $t$ и узнать зависимость угловой скорости $\omega$ от времени:

$\theta = \frac{2t + t^2}{R}.$

Дифференцируем $\theta$ по времени, чтобы найти угловую скорость $\omega$:

$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2 + 2t}{R}.$

Теперь найдем угловое ускорение $\alpha$ через $\omega$:

$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{2}{R}.$

И, наконец, находим ускорение $a$ тела на окружности через угловое ускорение $\alpha$ и радиус $R$:

$a = \alpha \cdot R = \frac{2}{R} \cdot R = 2 \, \text{м/c}^2.$

Таким образом, модуль ускорения тела через $t = 3$ секунды от начала движения равен $2 \, \text{м/c}^2$.