Question

Шар радиусом 30 см и массой 10 кг вращается с частотой 5 с-1 относительно оси, проходящей через диаметр шара. Какой момент силы следует приложить, чтобы шар остановился за время 10 с.

Answer 1

Ответ:

1,13 Н*м

Объяснение:

Начнем с того, что рассчитаем момент инерции шара

$J=\frac{2}{5} mR^2=\frac{2}{5} *10*0.3^2=0.36$ кг*м²

Определим необходимое для торможения угловое ускорение, начальная угловая скорость у нас ω₀=2πn=6.28*5=31.4 рад/с

$\epsilon =\frac{\omega _0}{t}=\frac{31.4}{10} =3.14$ рад/с²

Теперь применим второй закон Ньютона для вращения

$M=J\epsilon =0.36*3.14=1.13$ Н*м.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится закон сохранения момента импульса. Момент инерции $I$ шара можно выразить через его массу $m$ и квадрат радиуса $r$:

$I = \frac{2}{5} m r^2$

Известно, что начальная угловая скорость $\omega_0$ (в данном случае частота вращения) связана с моментом инерции и угловым моментом $L$ следующим образом:

$L = I \cdot \omega_0$

Момент углового импульса $L$ равен произведению момента силы $τ$ (который нас интересует) на время $\Delta t$, за которое он действует:

$L = τ \cdot \Delta t$

Так как момент инерции $I$ и начальный момент углового импульса $L$ известны, мы можем найти начальный момент силы $τ_0$ (который приложен для поддержания начальной скорости вращения):

$τ_0 = \frac{L}{\Delta t}$

Для остановки шара за время 10 секунд нам необходимо оказать дополнительный момент силы противоположного направления. Таким образом, общий момент силы $τ$ будет равен разнице между начальным моментом силы $τ_0$ и дополнительным моментом силы $τ_{\text{доп}}$:

$τ = τ_0 - τ_{\text{доп}}$

Теперь мы можем подставить известные значения:

$τ = \frac{L}{\Delta t} - τ_{\text{доп}}$

$τ = \frac{I \cdot \omega_0}{\Delta t} - τ_{\text{доп}}$

$τ = \frac{\frac{2}{5} m r^2 \cdot \omega_0}{\Delta t} - τ_{\text{доп}}$

$τ = \frac{2}{5} m r^2 \cdot \frac{\omega_0}{\Delta t} - τ_{\text{доп}}$

Теперь мы можем подставить численные значения $m = 10 \, \text{кг}$, $r = 0.3 \, \text{м}$, $\omega_0 = 5 \, \text{с}^{-1}$ и $\Delta t = 10 \, \text{с}$ и рассчитать начальный момент силы $τ_0$:

$τ_0 = \frac{2}{5} \times 10 \times (0.3)^2 \times \frac{5}{10} = 0.18 \, \text{Н} \cdot \text{м}$

Так как мы хотим остановить шар, то $τ_{\text{доп}}$ будет равен начальному моменту силы $τ_0$:

$τ_{\text{доп}} = 0.18 \, \text{Н} \cdot \text{м}$

Итак, общий момент силы $τ$ составит:

$τ = 0.18 \, \text{Н} \cdot \text{м} - 0.18 \, \text{Н} \cdot \text{м} = 0 \, \text{Н} \cdot \text{м}$

Следовательно, чтобы остановить шар за время 10 секунд, необходимо приложить момент силы $0 \, \text{Н} \cdot \text{м}$, что означает, что не потребуется дополнительных усилий для остановки его вращения.