Question

Граната, брошенная с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, в верхней точке своей траектории разорвалась на множество осколков, которые в системе отсчета, связанной с гранатой, летят во все стороны с одинаковыми скоростями. Известно, что осколки падали на землю в течение времени ∆t. Через какое время после взрыва упал на землю самый первый осколок? Помогите пожалуйста!!! Даю 100 баллов

Answer 1

Ответ:

$t_H=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1)$

Объяснение:

Очевидно, что первым на землю упадет осколок, летящий вниз, последним - вверх. Рассчитаем их времена падения (для удобства временно примем направление оси у вниз)

-нижнего

$v't_H+\frac{gt_H^2}{2}-H=0$

решаем получившееся квадратное уравнение

$D=b^2-4ac=v'^2+4*\frac{g}{2}H =v'^2+2gH$

корни

$t_H=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}=\frac{-v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

Отрицательное время отбрасываем (ясно что $v'$ при ненулевых H)

$t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}$

-верхнего

$-v't_B+\frac{gt_B^2}{2}-H=0$

$D=v'^2+2gH$

$t_B=\frac{v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

положительное время

$t_B=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

Интервал падения осколков

$\Delta t=t_B-t_H=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}-\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{2v'}{g}$

Откуда скорость осколков

$v'=\frac{g\Delta t}{2}$

Высоту подъема Н легко посчитать из известной формулы

$H=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}$

Тогда

$v't_H+\frac{gt^2}{2}=H$

или

$\frac{g\Delta t}{2}t_H+\frac{gt_H^2}{2}=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}$

Решать это уравнение еще раз нет надобности, оно уже решено

$t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{\sqrt{\frac{g^2\Delta t^2}{4} +v_0^2sin^2\alpha } -\frac{g\Delta t}{2} }{g}=\sqrt{\frac{\Delta t^2}{4}+\frac{v_0^2sin^2\alpha }{g^2} }-\frac{\Delta t}{2}=$

$=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1)$.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Первое, что нам следует понять, это как изменяется полет осколков после взрыва гранаты.

После взрыва гранаты осколки будут двигаться радиально от точки взрыва во всех направлениях с одинаковой скоростью. Для нашего рассмотрения нам необходимо понять, как двигаются осколки в вертикальном направлении.

Вертикальное движение осколков будет определяться свободным падением под действием гравитации. Движение будет происходить вниз, начиная с верхней точки траектории, где граната разорвалась.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли обозначим как g (приближенно равно 9.81 м/с²). Вертикальная составляющая начальной скорости v₀ гранаты будет v₀ * sin(α).

Таким образом, вертикальное положение осколка в момент времени t будет описываться уравнением:

h(t) = h₀ + v₀ * sin(α) * t - (1/2) * g * t²,

где h₀ - высота начальной точки (верхняя точка траектории).

Осколок упадет на землю, когда его вертикальное положение будет равно нулю. То есть:

0 = h₀ + v₀ * sin(α) * t - (1/2) * g * t².

Это квадратное уравнение можно решить относительно времени t. Решение будет представлять собой два значения времени: одно для момента, когда осколок впервые поднимется до начальной высоты, и другое для момента, когда он упадет обратно на землю. Вы ищете первое из этих значений.

Решение данного квадратного уравнения может быть достаточно сложным, особенно учитывая, что осколки летят во все стороны. Если вам нужно конкретное численное значение времени, то для расчетов потребуется конкретное значение начальной скорости v₀, угла α и времени ∆t, в течение которого осколки падали на землю.