Question

Помогите , пожалуйста , разобраться с задачей. 50 баллов. Есть три точных заряда с массами m на непроводящей нити, они находятся в близи земли, между нитью и зарядами действует сила трения с коэффициентом трению мю. Одновременно на все три шарика наносят заряд q. Выразить максимальную скорость каждого шарика. Расстояние между любыми двумя соседними шариками совпадает и равно эль.​

Answer 1

Ответ:

$v_m_a_x=\sqrt{3kq^2\frac{1}{Lm}-4\sqrt{\frac{3}{2m} kq^2\mu g} +2\mu gL }$

Объяснение:

Постараемся решить эту задачу с позиций теоремы об изменении кинетической энергии (чтобы избежать решения нелинейного ОДУ второго порядка, которое непременно возникает при описании движения в кеплеровых полях). Потенциальная энергия правого крайнего заряда (учтем, что центральный заряд остается неподвижным, а крайний левый, в любой момент времени, находится на том же расстоянии от центрального что и правый в виду симметрии задачи) в поле центрального и крайнего левого зарядов

$W=q\phi _1+q\phi_2=k\frac{q^2}{x} +k\frac{q^2}{2x}=\frac{3}{2}k\frac{q^2}{x}$

Изменение потенциальной энергии заряда

$\Delta W=W(L)-W(x)=\frac{3}{2}kq^2(\frac{1}{L}-\frac{1}{x} )=\frac{3}{2}kq^2\frac{x-L}{xL}$

Работа, совершенная силой трения

$A=-\mu mg(x-L)$

Изменение кинетической энергии заряда (с учетом начального условия v(L)=0)

$\frac{mv^2}{2}=\Delta W+A=\frac{3}{2}kq^2\frac{x-L}{xL}-\mu mg(x-L)$

Кинетическая энергия обратится в ноль при х равном

$x=\frac{3}{2}\frac{kq^2}{\mu mgL}$ (1)- тело остановится, максимум скорости заключен где-то между L и этим значением координаты.

Приравнивая производную кинетической энергии к нулю, найдем точку экстремума

$x=\sqrt{\frac{3kq^2}{2\mu mg} }$ (2)

Подставляя найденную точку экстремума в выражение для кинетической энергии получим

$E_k_m_a_x=\frac{3}{2}kq^2\frac{1}{L}- \sqrt{\frac{3}{2}kq^2\mu mg } -\sqrt{\frac{3}{2}kq^2\mu mg }+\mu mgL=$

$=\frac{3}{2}kq^2\frac{1}{L}-2\sqrt{\frac{3}{2} kq^2\mu mg}+\mu mgL$ (3)

Максимальная скорость (несколько громоздко, из-за отсутствия исходных числовых данных)

$v_m_a_x=\sqrt{3kq^2\frac{1}{Lm}-4\sqrt{\frac{3}{2m} kq^2\mu g} +2\mu gL }$

Проведем проверку, допустим q=100 нКл, L=1 см, μ=0.4, g=10, m=0.001, график зависимости кинетической энергии от координаты, для таких начальных условий, показан на рисунке. Хорошо видно, что максимум кинетической энергии (а значит и максимум скорости достигается при х=0,18 и составляет 0,012 Дж, проверка по формулам (2) и (3) дает такие же результаты. Судя по графику, заряд остановится в точке с координатой х≈3,4 м, действительно, по (1)

$x=\frac{3}{2}\frac{9*10^9*10^-^1^4}{0.4*0.001*10*0.01}=3.375$ м, значит решение выполнено верно. Характерный линейный спад после максимума свидетельствует о том, что на больших расстояниях влияние кулоновских сил уже мало, и система движется по инерции, теряя постепенно свою энергию за счет выполнения работы против сил трения.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Мы имеем три заряда, каждый из которых имеет массу m и заряд q. Они находятся на непроводящей нити в близи земли. Между нитью и зарядами действует сила трения с коэффициентом трения μ. Мы хотим найти максимальную скорость каждого из шариков.

Поскольку заряды находятся в электрическом поле друг друга, на каждый заряд действует сила электрического взаимодействия со стороны других зарядов. Эта сила определяется законом Кулона:

$F = \frac{k \cdot |q|^2}{r^2},$

где $k$ - постоянная Кулона ($8.9875 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$), $q$ - заряд, а $r$ - расстояние между зарядами. Заметьте, что направление силы зависит от знаков зарядов.

Сначала рассмотрим два соседних заряда (1 и 2). На заряд 1 действует сила со стороны заряда 2, и на заряд 2 действует сила со стороны заряда 1. Если заряды положительны, то силы направлены друг к другу; если один из зарядов отрицателен, то силы направлены друг от друга.

Сила трения также действует на каждый заряд. Она определяется как $F_{\text{тр}} = \mu \cdot N$, где $N$ - нормальная сила, равная массе умноженной на ускорение свободного падения ($N = m \cdot g$).

Теперь мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для каждого заряда:

$m \cdot a = F_{\text{эл}} - F_{\text{тр}},$

где $F_{\text{эл}}$ - сила электрического взаимодействия, а $a$ - ускорение.

Максимальная скорость будет достигнута, когда заряд остановится под воздействием силы трения и начнет двигаться в обратном направлении. Поэтому ускорение будет равно $a = -g$.

Теперь мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для каждого заряда:

$m \cdot (-g) = \frac{k \cdot |q|^2}{r^2} - \mu \cdot m \cdot g.$

Расстояние между соседними зарядами равно $r = \ell$, как указано в задаче.

Отсюда мы можем выразить заряд $q$ через максимальную скорость $v$ (как только заряд остановится, его скорость будет равна нулю):

$\frac{k \cdot |q|^2}{\ell^2} - \mu \cdot m \cdot g = -m \cdot g.$

Теперь найдем $|q|$:

$|q|^2 = \frac{\ell^2 \cdot \mu \cdot m \cdot g}{k}.$

Так как $q$ - заряд, который мы наносим на каждый заряд, он может быть как положительным, так и отрицательным. В данном случае, чтобы максимальная скорость была положительной (шарики двигались бы в противоположную сторону), можно выбрать $q$ положительным.

Теперь, когда у нас есть выражение для заряда $q$, мы можем выразить максимальную скорость $v$ через $q$ и другие известные величины:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot q \cdot \ell^2 \cdot \mu \cdot g}{m}}.$

Это и есть выражение для максимальной скорости каждого из шариков.

Пожалуйста, обратите внимание, что это довольно сложная задача, и я просто попытался разложить ее на составляющие. Если у вас возникли дополнительные вопросы или что-то не понятно, не стесняйтесь спрашивать!