Question

лампа массой m=800 г подвешена на двух пружинах, которые были отрезаны от одной и той же длинной пружины. длина меньшей пружины в нерастянутом состояние l=20см. Жесткости пружин равны k=30 и 3k. На каком расстояние от потолка висит лампа?

Answer 1

1) Для начала определим общую жесткость двух пружин. Приложим к нижней пружине силу $F$ и дождемся пока система растянется и придет в равновесие. Тогда на нижнюю пружину со стороны верхней действует такая же сила $F$ (второй закон Ньютона), но по третьему закону Ньютона на верхнюю пружину будет действовать такая же сила по модулю, то есть $F$. Суммарное удлинение: $\frac{F}{k}+\frac{F}{3k}=\frac{F}{k_{sys}}$, откуда общая жесткость равна $k_{sys}=\frac{3k}{4}$.

2) Мысленно разделим целую пружину на $n$ одинаковых частей. Точно так же приложим силу $F$. Тогда, очевидно, в силу однородности пружины каждая часть растянется на одинаковую длину. Выберем первые $m$ частей, считая сверху. Получим две пружины, верхняя состоит из $m$ частей, а нижняя — из $n-m$. Из предыдущих соображений ясно, что жесткости этих пружин соотносятся обратно пропорционально их длинам. Поскольку в нашем случае пружины сделаны из одной большой, то к ним применимы эти рассуждения. Поэтому длина большей пружины в нерастянутом состоянии равна 20*3=60 см. Общая длина равна 80 см. Пружина растянется на $\Delta x=\frac{mg}{k_{sys}}=\frac{4mg}{3k} = 16/45\; \textbf{m}$. Итого: $0,8\;\textbf{m}+16/35\;\textbf{m}\approx1,16\;\textbf{m}$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом Гука для пружин и уравнением равновесия.

Пусть x обозначает расстояние от потолка до точки, где подвешена лампа. Так как у нас есть две пружины, каждая с разной жесткостью, мы можем разбить это на два этапа:

1. Растяжение более жесткой пружины: Пружина с жесткостью 3k растягивается на x метров. В этом случае сила, которая действует вниз, будет равна упругой силе пружины:

F1 = k * x.

2. Растяжение менее жесткой пружины: Теперь мы имеем дело с оставшейся длиной пружины (l - x), которая растягивается на (l - x) метров. Сила, которая действует вниз, будет равна упругой силе этой пружины:

F2 = 3k * (l - x).

Учитывая, что сумма этих сил должна быть равна весу лампы (масса умноженная на ускорение свободного падения g):

F1 + F2 = mg.

kx + 3k(l - x) = mg.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

kx + 3kl - 3kx = mg, -2kx + 3kl = mg, 2kx = 3kl - mg, x = (3kl - mg) / 2k.

Подставляя значения: k = 30, l = 20 см = 0.2 м, m = 800 г = 0.8 кг, g ≈ 9.8 м/с², получаем:

x = (3 * 30 * 0.2 - 0.8 * 9.8) / (2 * 30), x = (18 - 7.84) / 60, x = 10.16 / 60, x ≈ 0.1693 м.

Таким образом, лампа висит на расстоянии примерно 0.1693 метра (или около 16.93 см) от потолка.